머민-바그너 정리 문서 원본 보기

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[[양자장론]]과 [[응집물질물리학]]에서 '''머민-바그너 정리'''({{llang|en|Mermin–Wagner theorem}})는 2차원 이하의 [[시공간]]에서는 연속적 대칭의 [[자발 대칭 깨짐]]이 존재할 수 없다는 정리다.<ref>{{저널 인용|제목=Mermin-Wagner Theorem|이름=Herbert|성=Wagner|공저자=Ulrich Schollwoeck|날짜=2010|저널=Scholarpedia|권=5|호=10|쪽=9927|doi=10.4249/scholarpedia.9927|언어=en}}</ref>

== 역사 ==
[[데이비드 머민]]({{lang|en|David Mermin}})과 [[헤르베르트 바그너]]({{llang|de|Herbert Wagner}})가 원래 [[하이젠베르크 모형]]에서의 [[강자성]]에 대하여 증명하였다.<ref>{{저널 인용|first=N.D.|last=Mermin|공저자=H. Wagner|title=Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one- or two-dimensional isotropic Heisenberg models|journal= Physical Review Letters|volume=17|pages=1133–1136|날짜=1966|bibcode = 1966PhRvL..17.1133M |doi = 10.1103/PhysRevLett.17.1133|언어=en }}</ref> [[시드니 콜먼]]이 이를 임의의 2차원계에 대하여 확장하였다.<ref>{{저널 인용|first=Sidney|last=Coleman|저자링크=시드니 콜먼|title=There are no Goldstone bosons in two dimensions|journal=Communications in Mathematical Physics|volume=31|pages=259|날짜=1973|bibcode = 1973CMaPh..31..259C |doi = 10.1007/BF01646487|언어=en}}</ref>

== 유도 ==
'''머민-바그너 정리'''에 따르면, 유한한 온도 <math>T>0</math>에서 1차원 또는 2차원 양자장론은 연속적 대칭의 [[자발 대칭 깨짐]]을 보일 수 없다. 이는 임의의 0이 아닌 온도에서 성립한다. (1차원 양자장론은 [[양자역학]]을 일컫는다.)

시공간 차원을 <math>D</math>라고 하자.
[[골드스톤 정리]]에 따라서, 연속적 대칭의 [[자발 대칭 깨짐]]이 일어나면 이에 대응하는 무질량 [[골드스톤 보손]] <math>\phi</math>이 존재하여야 한다. 이 골드스톤 보손의 [[전파 인자]]는
:<math>\langle \phi(x)\phi(x+r)\rangle\propto
\begin{cases}1/r^{D-2}&D>2\\
\ln r&D=2\\
r&D=1
\end{cases}</math>
2차원 이하에서는 무질량 전파 인자가 <math>r\to\infty</math>일 때 0으로 가지 않는 것을 알 수 있다. 따라서, 이 경우 매우 적은 에너지로 장거리 요동들을 생성시킬 수 있다. 따라서 이러한 상태들이 [[엔트로피]]의 대부분을 차지하며, 이러한 요동에 의하여 자발 대칭 깨짐이 유지될 수 없다.

머민-바그너 정리는 이산 대칭에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, [[이징 모형]]에서는 <math>\mathbb Z/2</math> 스핀 반전 대칭이 자발적으로 깨진다.

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:통계역학]]
[[분류:수리물리학 정리]]