맨해튼 거리 문서 원본 보기

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[[파일:Manhattan distance.svg|섬네일|200px|맨해튼 거리와 유클리드 거리의 비교: 맨해튼 거리인 빨간색, 파란색, 노란색 선의 길이는 모두 12이며 가장 짧은 맨해튼 거리이다. 유클리드 거리인 초록색 선의 길이는 <math>6 \sqrt{2} \approx 8.49</math>이므로 네 선 중에서 가장 길이가 짧다.]]
'''맨해튼 거리'''(Manhattan distance, 혹은 '''택시 거리''', '''''L''<sub>1</sub> 거리''', '''시가지 거리''',Taxicab geometry)는 [[19세기]]의 수학자 [[헤르만 민코프스키]]가 고안한 용어로, 보통 [[유클리드 기하학]]의 [[거리 공간]]을 좌표에 표시된 두 점 사이의 거리(절댓값)의 차이에 따른 새로운 거리 공간으로 대신하기도 한다.

== 정의 ==
맨해튼 거리는 <math>d_1</math>과 벡터 <math>\mathbf{p}, \mathbf{q}</math> 사이에 차원 [[실수]]를 [[데카르트 좌표계]]에 일정한 좌표축의 점 위에 투영한 [[선분]] 길이의 합을 말하는데, 이를 공식으로 표현하면 다음과 같다.

<math>\mathbf{p}=(p_1,p_2,\dots,p_n)\,</math>과 <math>\mathbf{q}=(q_1,q_2,\dots,q_n)\,</math>를 [[공간 벡터]]라 할 때,

<math>d_1(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \|\mathbf{p} - \mathbf{q}\|_1 = \sum_{i=1}^n |p_i-q_i|</math>이다.

예를 들어 [[평면]] 위의 맨해튼 거리가 <math>(p_1,p_2)</math>과 <math>(q_1,q_2)</math> 사이이면 <math>| p_1 - q_1 | + | p_2 - q_2 |</math>이다. 맨해튼 거리는 좌표계의 회전에 의존하지만, 좌표의 축을 [[반사 (기하학)|반사]]하거나 [[평행이동]]을 하는 경우는 그렇지 않다. 맨해튼 거리는 [[합동 (기하학)|SAS 합동]] (두 개의 변과 그 사이의 각이 같은 두 개의 삼각형을 만들 수 있으나, 합동이 아니다.)인 경우를 제외하면 모든 [[힐베르트 공리계]] ([[유클리드 기하학]]의 의식화)와 일치한다.

맨해튼 거리의 원은 중심 점에서 [[반지름]] 이라고 불리는 일정한 거리만큼 떨어져 있는 점들의 집합이다. 유클리드 기하학과 맨해튼 거리의 원은 모양이 다르다. 맨해튼 거리에서 원은 좌표의 축으로 45° 기울어진 정사각형이다. 모눈의 크기가 줄어들면 수많은 점들은 연속적인 정사각형의 모양을 만드는데, [[유클리드 거리]]를 이용한 각 변이 길이가 √2''r''이면 이 원의 반지름은 ''r''이다. 각 변의 길이를 맨해튼 거리로 측정한 값은 2''r''이 된다.

원의 반지름이자 [[체비쇼프 거리]] ([[Lp 거리]])인 ''r''은 정사각형 평면에 평행하며, 정사각형의 변의 길이인 2''r''은 좌표의 축에 평행하다. 평면의 체비쇼프 거리는 거리의 회전과 축소된 평면의 맨해튼 거리와 같은 값이지만, L<sub>1</sub>과 L<sub>∞</sub>의 거리 사이의 같은 값은 보다 높은 차원에서 일반화되지 않고 있다.

== 체스에서의 측정 ==
[[체스]]에서는 [[룩 (체스)|룩]]의 경우 [[체스판]]과 정사각형 사이의 거리를 맨해튼 거리로 측정하고, [[킹 (체스)|킹]]과 [[퀸 (체스)|퀸]]은 [[체비쇼프 거리]]를 이용하며, [[비숍 (체스)|비숍]]은 체스판을 45도로 순환하는 맨해튼 거리 (같은 색의 정사각형)를 이용한다. 즉, 비숍의 경우 거리를 측정하는 축은 체스판의 대각선 방향이다. 따라서 오직 킹만이 한번 움직일 때 거리와 같은 수의 이동을 하고, 룩과 퀸, 비숍의 경우 일정한 거리를 이동하기 위해서는 1번 혹은 2번 움직여야 한다. (단, 비어 있는 [[체스판]]을 가정하고, 비숍의 경우 이동할 수 있는 모든 경우가 가능하다고 가정한다.)

== 같이 보기 ==
* [[체비쇼프 거리]]
* [[해밍 거리]]
== 각주 ==
* {{서적 인용
 | 저자 = Eugene F. Krause
 | 제목 = Taxicab Geometry
 | 연도 = 1987
 | 출판사 = Dover
 | isbn = 0-486-25202-7}}

== 외부 링크 ==
* [http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/Similarity/CityBlockDistance.html City Block Distance], 카르디 테크노모
* [http://planetmath.org/encyclopedia/CityBlockMetric.html city-block metric] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20070701012611/http://planetmath.org/encyclopedia/CityBlockMetric.html}} [[플래닛매스]](PlanetMath)
* [http://mathworld.wolfram.com/TaxicabMetric.html 택시 거리]
* [http://www.nist.gov/dads/HTML/manhattanDistance.html Manhattan distance]. Paul E. Black, [http://www.nist.gov/dads/ Dictionary of Algorithms and Data Structures], NIST
* [https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3567439&cid=58944&categoryId=58970 택시기하학]

[[분류:계량기하학]]
[[분류:노름]]
[[분류:수학적 체스 문제]]
[[분류:기하학]]
[[분류:거리]]