맨션 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:멘션_정리.png|thumb|350px|맨션 정리]]
[[기하학]]에서 '''맨션 정리'''(Mansion定理, {{llang|en|Mansion's theorem}})는 [[삼각형]]의 [[내심]]과 두 꼭짓점을 이어 만든 삼각형의 [[외심]]은 원래 삼각형의 외접원 위의 점이라는 정리이다.

== 정의 ==
삼각형 <math>ABC</math>의 [[내심]]을 <math>I</math>라고 하고, <math>AI</math>의 연장선과 [[외접원]]의 교점을 <math>M</math>이라고 하자. '''맨션 정리'''에 따르면, <math>M</math>은 삼각형 <math>IBC</math>의 [[외심]]이다. 즉, 다음이 성립한다.
:<math>MI=MB=MC</math>

== 증명 ==
호 <math>MC</math>의 [[원주각]]의 성질에 의하여
:<math>\angle MBC=\angle MAC</math>
이며, 내심 <math>I</math>의 정의에 의하여
:<math>\angle IBC=\angle IBA</math>
:<math>\angle IAC=\angle IAB</math>
이다. 따라서
:<math>\angle MBI=\angle IBC+\angle MBC=\angle IBA+\angle IAB=\angle MIB</math>
이다. 즉, <math>MI=MB</math>이다. 마찬가지로 <math>MI=MC</math>를 보일 수 있다.

== 따름정리 ==
맨션 정리는 [[오일러 삼각형 정리]]를 증명하는 데 쓰인다.

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용
|url=https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/MansionTheorem.shtml
|성=Bogomolny
|이름=Alexander
|제목=A Theorem of M. Mansion
|웹사이트=Cut the Knot
}}

[[분류:삼각 기하학]]