맥스웰 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{전자기학}}
{{장방정식}}
'''맥스웰 방정식'''(-方程式, {{lang|en|Maxwell's equation}}s)은 [[전기]]와 [[자기]]의 발생, [[전기장]]과 [[자기장]], [[전하 밀도]]와 [[전류 밀도]]의 형성을 나타내는 4개의 [[편미분 방정식]]이다. 맥스웰 방정식은 [[빛]] 역시 [[전자기파]]의 하나임을 보여준다. 각각의 방정식은 [[가우스 법칙]], [[가우스 자기 법칙]], [[패러데이 전자기 유도 법칙]], [[앙페르 회로 법칙]]으로 불린다. 각각의 방정식을 [[제임스 클러크 맥스웰]]이 종합한 이후 맥스웰 방정식으로 불리게 되었다.

[[전자기역학]]은 맥스웰 방정식과 [[로런츠 힘]] 법칙으로 요약된다. 로랜츠 힘은 맥스웰 방정식으로부터 유도될 수 있다.

== 개요 ==
[[파일:Magnetic core.jpg|섬네일|오른쪽|1954년 [[왕안]]이 [[앙페르 회로 법칙]]을 이용하여 고안한 [[자기 코어 메모리]]. 하나의 코어가 1 [[비트 (단위)|비트]]에 해당한다.]]

맥스웰의 방정식은 네 개의 법칙을 모아 종합하여 구성한 것이다.<ref>{{서적 인용|저자1 = 타케우치 아츠시|저자2 = 김현영(역자)|제목 = 高校數學でわかるマクスウェル方程式 ―電磁氣を學びたい人、學びはじめた|번역제목 = 고교수학으로 배우는 맥스웰의 방정식|출판사 = 홍|쪽 = 112|연도 = 2003년|ISBN = 8955171250}}</ref><ref group="주해">이하 개요의 내용 가운데 별도의 출처 표기가 없는 것은 타케우치 아츠시의 참고 문헌을 바탕으로 한 것이다.</ref> 맥스웰의 방정식은 [[빛]]과 같은 [[전자기파]]의 특성을 설명한다. 각 방정식의 수학적 표현은 공식 부분에서 다루기로 하고 우선은 방정식의 의미를 살펴보면 다음과 같다.

* '''[[가우스 법칙]]''' : 가우스 법칙은 [[전하]]에 의해 발생된 [[전기장]]의 크기를 설명한다. 따라서 가우스 법칙은 본질적으로 [[쿨롱 법칙]]과 같은 의미를 지닌다. 다만, 쿨롱 법칙이 공간에 놓인 두 점전하 사이에서 발생하는 힘을 설명하는데 반해 가우스 법칙은 하나의 전하로부터 발생하는 전기장의 세기가 거리에 따라 반감되는 이유를 설명한다. 실제 [[전기회로|회로 이론]]이나 [[전자공학]]에서는 계산이 편리하고 직관적으로 이해 하기 쉬운 가우스 법칙을 일반적으로 사용한다.

* '''[[가우스 자기 법칙]]''' : 가우스 자기 법칙에 따르면, 폐곡면의 총 [[자기 선속]]은 0이다. 즉, [[전기]]와 달리 [[자기]]는 [[자기 홀극|홀극]]이 없고, N극과 S극이 언제나 함께 존재한다.<ref group="주해">자기와 달리 전기는 양전하 또는 음전하가 단독으로 존재할 수 있다. 이는 [[물질]]을 구성하는 [[기본 입자]]가 고유한 [[전하]] 값을 갖기 때문이다.</ref> 이러한 자기의 성질 때문에 일정한 공간으로 들어오는 자기력선과 나가는 자기력선의 크기는 언제나 같고, 따라서 서로 정반대의 방향으로 작용하는 같은 크기의 힘의 합계는 언제나 0이다.

* '''[[패러데이 전자기 유도 법칙]]''' : 패러데이 전자기 유도 법칙은 [[자기 선속]]이 변화하면 그 주변에 [[전기장]]<ref group="주해">[[전자기학]]과 [[전기회로|회로이론]]에서는 일반적으로 전계(電界)라는 용어를 사용한다.</ref> 이 발생한다는 것이다. 고리 모양으로 만들어진 [[케이블|전선]] 가운데서 자석을 위 아래로 움직이면 [[전류]]가 발생하는 것을 예로 들 수 있다. [[발전소]]는 이러한 원리를 이용하여 [[교류]] 전류를 만들어 낸다.

* '''[[앙페르 회로 법칙|앙페르-맥스웰 회로 법칙]]''' : 앙페르 회로 법칙은 전류가 흐르는 전선에 따라 [[자기장]]이 발생한다는 것이다. 맥스웰은 앙페르 회로 법칙을 확장하여 [[전기장]]의 강도가 변화하면 자기장이 발생하는 것으로 파악하였고, [[축전기]]를 이용한 실험을 통해 이를 입증하였다. 즉, 축전기 자체는 전류를 이동시키지 못하지만 전계의 변화를 전달한다. 맥스웰은 축전기에서 전계가 변화할 때 자기장이 발생하는 것을 측정하였고 이로써 전선뿐만 아니라 전계의 강도가 변화하는 모든 곳에서 자기장이 발생함을 증명하였다. 전류 변화로 자기장이 발생하는 것을 이용한 도구로는 [[전자석]], [[전동기]]와 같은 것이 있다.

== 역사 ==
맥스웰의 방정식에 나타난 각 식은 오랜 시간에 걸쳐 연구된 전기와 자기의 특성을 종합한 것이다. 인류는 고대 시대부터 이미 [[정전기]]에 의한 인력과 방전 현상을 알고 있었고 [[자석]]의 특징을 이용한 [[나침반]]을 만들어 사용해 왔다. 근대에 이르러 전기와 자기에 대한 많은 연구가 진행되었으며 그 결과 [[쿨롱 법칙]], [[패러데이 전자기 유도 법칙]], [[앙페르 회로 법칙]]과 같은 법칙들이 발견되었다. 맥스웰은 이러한 기존의 연구 성과를 종합하여 전기와 자기가 하나의 상호작용, 즉 [[전자기력]]에 의한 것임을 증명하면서 [[빛]]역시 [[전자기파]]라는 것을 밝혔고, 전자기 복사의 발견을 예언하였다.

=== 맥스웰 이전의 연구 성과 ===
==== 쿨롱 힘 ====
{{본문|쿨롱 법칙}}
{{참고|전하|가우스 법칙}}
앞서 밝힌 바와 같이 두 전하 사이에 인력과 척력이 작용한다는 것은 고대 이후 잘 알려진 사실이었다. 그러나 이렇게 두 전하 사이에 작용하는 힘의 관계와 크기는 측정하기 매우 어려웠는데, 그 까닭은 작용하는 힘의 크기가 매우 작기 때문이었다. 1784년 [[샤를 드 쿨롱]]은 비틀림 저울을 이용한 실험장치를 고안하여 대전된 두 전하 사이에 작용하는 힘의 크기를 측정할 수 있었다.

[[샤를 드 쿨롱]]은 금속공과 비틀림 저울을 이용하여 두 점전하 사이에 작용하는 힘을 측정하고, 두 전하 사이에서 작용하는 힘은 두전하 크기의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례한다는 [[쿨롱 법칙]]을 발견하였다.<ref name="물리학회">한국물리학회, 전기와 자기의 밀고 당기기, 동아사이언스, 2006, {{ISBN|89-91844-09-X}}, 65-68쪽</ref>

[[쿨롱 법칙]]을 식으로 나타내면 다음과 같다.<ref name="물리학회"/>
:<math>F = k_\mathrm{e} \frac{q_1q_2}{r^2}</math>
:<small> F=힘, K<sub>e</sub>=쿨롱 상수, q_1{{·}} q_2=전하의 크기, r=두 전하 사이의 거리</small>

* 위 식에서 K<sub>e</sub>는 쿨롱 상수로 이 상수의 크기는 다음과 같다.
:<math>
k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8.987\,551\,787\,\times 10^9
</math>
::<math>\approx 9 \times 10^9</math>   [[뉴턴 (단위)|N]] [[미터|m]]<sup>2</sup> [[쿨롱|C]]<sup>−2</sup>

한편, 쿨롱 힘은 전하 사이의 작용뿐만 아니라 자계에도 적용될 수 있다. 두 자극의 세기를 각각 m<sub>A</sub>, m<sub>B</sub>라 할 때, 이 두 자극 사이에 작용하는 힘은 다음과 같이 정리된다.
:<math>F = k \frac{m_Am_B}{r^2}</math>
:<small> F=힘, m_A{{·}} m_B=자극의 세기, r=두 전하 사이의 거리</small>

자극의 세기 단위는 [[웨버 (단위)|웨버]](Wb)로 쿨롱은 세기가 같은 두 개의 자극을 1[[미터|m]] 떨어뜨려 놓았을 때 작용하는 힘의 세기가 <math>F = \frac{10^7}{(4\pi)^2} N</math>인 경우를 1Wb로 정의했다. 따라서 상수 k의 값은 다음과 같다.
:<math>k = \frac{10^7}{(4\pi)^2} Nm^2</math>/<math>Wb^2</math>

자극 사이에 작용하는 힘의 크기는 전하 사이에 작용하는 힘의 크기와 같은 방식으로 계산할 수 있으나 둘 사이에는 분명한 차이가 있다. 즉, 전하는 양전하이든 음전하이든 단독으로 존재할 수 있는 데 반해 자극은 [[자기 홀극|홀극]]으로 존재할 수 없고, N극과 S극이 언제나 쌍으로 존재하여야 한다는 것이다.

==== 패러데이의 실험 ====
{{본문|패러데이 전자기 유도 법칙}}
{{참고|마이클 패러데이}}

==== 전자기 유도 ====
{{본문|전자기 유도}}

=== 맥스웰의 연구 ===
{{참고|제임스 클러크 맥스웰}}
[[제임스 클러크 맥스웰]]은 각각 독립적으로 다루어져 오던 전기와 자기의 법칙들을 종합하여 맥스웰 방정식을 수립하였다. 맥스웰은 [[마이클 패러데이]]의 "역선"(力線) 개념과 [[앙드레마리 앙페르]]의 회로 이론을 근간으로 방정식을 정리하였다.

1861년 맥스웰은 논문 《물리적인 역선에 대해》<ref>[[:파일:On Physical Lines of Force.pdf|On Physical Lines of Force]]</ref>를 발표하여 모두 4개의 방정식으로 구성된 맥스웰 방정식을 소개하였다. 이 방정식은 1865년 발표된 논문 《전자기장의 역학 이론》과 1873년 출간된 《[[전기와 자기에 관한 논문집]]》제2권의 9장에서 다시 소개되었다.

물리학자 [[리처드 파인먼]]은 "이 방정식에 비하면 [[남북전쟁]]조차 큰 의미없는 지엽적인 사건이라고 할 수 있다"라고 맥스웰 방정식의 중요성을 강조하였다.
<ref>Crease, Robert. ''[http://books.google.com/books?id=IU04tZsVjXkC&lpg=PA133&dq=%22Civil%20War%20will%20pale%20into%20provincial%20insignificance%22&pg=PA133#v=onepage&q=%22Civil%20War%20will%20pale%20into%20provincial%20insignificance%22&f=false The Great Equations: Breakthroughs in Science from Pythagoras to Heisenberg]'', page 133 (2008).</ref>

==== 맥스웰 방정식의 정리 ====
1865년 맥스웰 자신에 의해 발표된 맥스웰 방정식의 원래 형태는 8개의 방정식으로 이루어진 것이었다. 그러나, 오늘날에는 1884년 [[올리버 헤비사이드]]가 4개의 방정식으로 정리한 형태가 일반적으로 사용된다.<ref>Paul J. Nahin (2002-10-09). Oliver Heaviside: the life, work, and times of an electrical genius of the Victorian age. JHU Press. pp. 108–112. {{ISBN|978-0-8018-6909-9}}.</ref> [[조사이어 윌러드 기브스]]와 [[하인리히 루돌프 헤르츠]] 역시 헤비사이드와 동일한 작업을 한 바 있다.<ref>Jed Z. Buchwald (1994). The creation of scientific effects: Heinrich Hertz and electric waves. University of Chicago Press. p. 194. {{ISBN|978-0-226-07888-5}}.</ref> 이 때문에 맥스웰 방정식은 헤르츠-헤비사이드 방정식으로 불리기도 한다. 그러나 "맥스웰 방정식"이란 이름이 더 폭넓게 쓰이고 있다.<ref name="nahin">Paul J. Nahin, [http://books.google.com/?id=e9wEntQmA0IC&pg=PA111&dq=nahin+hertz-heaviside+maxwell-hertz Oliver Heaviside: the life, work, and times of an electrical genius of the Victorian age], 2002, JHU Press, {{ISBN|978-0-8018-6909-9}}, p. 108–112.</ref>

1861년 맥스웰은 《물리적인 역선에 대해》에서 [[앙페르 회로 법칙]]을 설명하기 위해 방정식들을 열거하였다. 맥스웰은 이 논문에서 [[앙페르 회로 법칙]]에 [[치환 전류]]를 덧붙였다. 1865년 발표한 《전자기장의 역학 이론》에서는 [[전자기파 방정식]]을 기술하면서 [[빛]]이 [[전자기파]]임을 제시하였다. 맥스웰의 이론은 1887년 [[하인리히 루돌프 헤르츠]]의 실험에 의해 증명되었다.

"장"(場)이란 개념은 [[마이클 패러데이]]가 도입하였다. [[알베르트 아인슈타인]]은 맥스웰이 장 개념을 도입한 것에 대해 다음과 같이 평가하였다.
{{인용문| 맥스웰의 업적은 시공간 법칙의 정확한 형태를 묘사한 것이다. 맥스웰은 전자기장을 두 극에서 퍼져나오는 파동의 형태로 나타내었다. 그리고 이 파동은 빛의 속도로 퍼져나간다! 이러한 것을 실제로 체험할 수 있는 사람은 극히 드물다. …… 맥스웰의 발견을 제대로 이해하는 과학자라면 그의 천재성이 후배 과학자들의 연구에 준 지대한 영향을 강조할 수 밖에 없다.| 《사이언스》, 1940년 5월 24일}}

당시 이 방정식은 헤르츠-헤비사이드 방정식 또는 멕스웰-헤비사이드 방정식이라고 불렸다.<ref name=nahin/> 그러나 아인슈타인은 [[사이언스]]에의 기고문에서 이를 "맥스웰 방정식"이라 부르며, 이 방정식들이 [[이론물리학]]의 기초라고 설명하였다. 맥스웰은 방정식을 정리하면서 헤비사이드의 [[전위]]와 [[벡터 위치]] 등 위치 요소를 중요한 개념으로 도입하였다.<ref>liver J. Lodge, Sketch of the Electrical Papers in Section A, at the Recent Bath Meeting of the British Association. Electrical Engineer Vol 7, November 1888, p. 535</ref> 1884년 맥스웰은 전자기파의 전달을 중력과 같이 원격에서 상호작용하는 힘이 아닌 전자기장에서 빛의 속도로 전파되는 전위로 파악하였다.<ref name="buchwald">Jed Z. Buchwald, [http://books.google.com/?id=2bDEvvGT1EYC&pg=PA194&dq=maxwell+faraday+time-derivative+vector-potential The creation of scientific effects: Heinrich Hertz and electric waves], University of Chicago Press, 1994, {{ISBN|978-0-226-07888-5}}, p.194</ref><ref group="주해">반면, [[쿨롱 법칙]]은 두 정전하 사이에 발생하는 힘을 중력과 같은 원격 상호작용으로 파악한 것이다.</ref> 라디오 안테나에 대한 현대의 분석에서도 맥스웰의 백터와 스칼라 위키에 대한 수식만으로 서로 떨어져 있는 안테나 사이에 작용하는 전파의 영향을 모두 설명할 수 있다.

맥스웰 방정식과 관련한 헤비사이드의 업적은 맥스웰이 여러 논문과 책에서 서술한 맥스웰 방정식을 오늘날과 같은 4개의 방정식으로 정리하였다는 것이다.<ref>J. R. Lalanne, F. Carmona, and L. Servant, [http://books.google.com/?id=7rWD-TdxKkMC&pg=PA8&dq=maxwell-faraday+derivative Optical spectroscopies of electronic absorption], World Scientific, 1999, {{ISBN|978-981-02-3861-2}}, p.8</ref><ref>Roger F. Harrington, [http://books.google.com/?id=ZlC2EV8zvX8C&pg=PR7&dq=maxwell-faraday-equation+law-of-induction Introduction to Electromagnetic Engineering], Courier Dover Publications, 2003, {{ISBN|978-0-486-43241-0}}, p.49–56</ref>

==== 《물리적 역선에 대해》 (1861년) ====
오늘날 4개의 방정식으로 정리된 맥스웰의 방정식은 1861년 발표된 논문인 《물리적 역선에 대해》에 기반한 것이다. 이 논문에는 전자기장에 대한 다수의 방정식이 실려있다.

<ol style="list-style-type: lower-roman">
<li>방정식 56번 <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>.</li>
<li>방정식 112번은 멕스웰이 [[앙페르 회로 법칙]]을 확장하여 전류와의 거리에 따른 자기력선의 세기를 표현한 것이다. 이 방정식에서 표현된 [[원격 전류]]의 개념은 [[전자기학]]의 핵심 개념이 되었다. 맥스웰은 1865년 《[[전자기장의 역학 이론]]》에서 [[전자기 파장 방정식]]을 정립하여 이를 보충하였다. [[구스타프 키르히호프]]는 특히 이 방정식에서 원격 전류의 개념을 제거한 방정식을 수립한 뒤 이를 전신수 방정식이라고 불렀는데, 이 방정식이 [[전신]]의 이론적 기반이 되었기 때문이다. 당시에는 전자기 복사가 발견되지 않은 상태였기 때문에 키르히호프는 자신의 방정식이 전선 안에서 일어나는 자기 유도에 국한된다고 생각하였다. </li>
<li>방정식 115번은 [[가우스 법칙]]을 정리하고 있다.</li>
<li>방정식 54번을 [[올리버 헤비사이드]]는 "패러데이 법칙"이라 불렀다. 그러나, 패러데이 법칙의 원형이 자기장과 전류의 변화를 모두 반영하는데 비해 54번 방정식은 자기장의 변화에 따른 전류의 변화를 반영하지는 않는다. 맥스웰은 자기장의 변화만을 고려하여 '''v <big>×</big> B'''로 표기한 대신, 방정식 77번에서 오늘날 [[로런츠 힘]] 법칙으로 알려진 '''F ''' = ''q'' ( '''E + v <big>×</big> B''' ) 을 제시하였다. 맥스웰이 이 방정식을 발표한 때에 [[헨드릭 로런츠]]는 아직 어린아이였다.</li>
</ol>

1855년 맥스웰은 [[케임브리지 대학교|케임브리지]] 철학 학회에서 《패러데이의 역선》을 발표하면서 <math>\mathbf{B}</math>와 <math>\mathbf{H}</math> 벡터의 차이점을 설명하였다. 이 논문은 오늘날에도 [[패러데이 전자기 유도 법칙]]에 대한 가장 간결한 모형으로 인정받고 있다. 여기서 맥스웰은 전류에 관한 모든 지식을 [[미분 방정식]]으로 나타내었다.

[[파일:Molecular Vortex Model.jpg|오른쪽|섬네일|300px|맥스웰의 분자 와동 모형. 그림에서 육각형 안의 검은 점을 밖으로 나오는 자기력선의 기자력이 되는 단위 자기장이라 할 때, 모든 단위 자기장이 반시계방향으로 회전하면 녹색 원으로 표현된 자기력선은 단위 자기장들의 영향을 받아 시계방향으로 회전하게 된다.]]

1855년 맥스웰이 제안한 분자 와동의 바다란 개념은 1861년 《[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/On_Physical_Lines_of_Force.pdf 물리 역선에 대해]》에서 보다 분명하게 소개되었다. 이 논문에서는 자기장이 형성되는 분자 규모의 와동에서 <math>\mathbf{B}</math>의 밀도에 따라 <math>\mathbf{H}</math>의 순 와동 운동이 결정된다고 보았다. 맥스웰은 와동의 밀도를 측정하기 위한 값으로 [[투자율]] µ 을 정의하였다. 이 논문에서 밝힌 맥스웰의 개념은 다음과 같다.

# '''자기 유도 전류'''는 자기 전류 밀도에 의해 발생된다. <br /><math>\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}</math>
# '''대류 전류'''는 선형 전류의 회전 분석에 핵심 개념이다. <br /><math>\mathbf{J} = \rho \mathbf{v}</math>

이 때 <math>\rho</math>는 [[전하 밀도]]이다. <math>\mathbf{B}</math>는 축을 이루어 회전하는 자기 전류이고 <math>\mathbf{H}</math>는 그 주위를 돌게 되는 자기력선의 자기 선속이다. [[투자율]] µ는 결국 [[자기장]] <math>\mathbf{B}</math>에 의해 유도되는 자기 선속 <math>\mathbf{H}</math>의 비가 된다.

전류 방정식은 [[전하]]의 대류 전류가 선형적으로 움직이는 것을 보여준다. 한편, 자기 방정식은 유도 전류의 회전에 의해 발생하는 자기를 나타내는 것으로 <math>\mathbf{B}</math> 벡터의 방향성으로 인해 비선형 방정식이 된다. 따라서 자기 유도 전류는 역선으로 표현된다. 자기력선은 [[역제곱 법칙]]에 의해 전류에서 멀어질수록 약해지게 된다.

==== 《전자기장의 역학이론》 (1864년) ====
1864년 맥스웰은 《전자기장의 역학이론》을 출간하였다. 맥스웰은 이 책에서 [[빛]]이 [[전자기파]]임을 제시하였다. 이 책에서 맥스웰은 8개의 방정식을 '''전자기장에 대한 일반적인 방정식'''으로 제시하였다. 이 때문에 훗날 "맥스웰 방정식"이라는 표현이 오늘날의 4개의 방정식을 가리키는 것인지 1864년 제시된 8개의 방정식을 가리키는 것인지를 혼동하기도 한다. 따라서 오늘날의 4개로 구성된 방정식을 분명히 하기 위해 헤비사이드가 정리한 맥스웰 방정식(맥스웰-헤비사이드 방정식)이라는 표현이 사용된다.<ref>[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/A_Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field.pdf A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field] page 480.</ref>

현대 벡터 표기를 사용하여 정리한 멕스웰의 8개 방정식은 다음과 같다.

;(A) 총 전류의 법칙
:<math>\mathbf{J}_{tot} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}</math>

;(B) 자기장 방정식 ([[벡터 퍼텐셜]]의 정의)
:<math>\mu \mathbf{H} = \nabla \times \mathbf{A}</math>

;(C) [[앙페르 회로 법칙]]
:<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{tot}</math>

;(D) 대류 전하, 유도 전류 및 정전기에 의해 생성된 기전력 ([[로런츠 힘]])
:<math>\mathbf{E} = \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla \phi </math>

;(E) 전기 탄성 방정식
:<math>\mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon} \mathbf{D}</math>

;(F) [[옴의 법칙]]
:<math>\mathbf{E} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{J}</math>

;(G) [[가우스 법칙]]
:<math>\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho</math>

;(H) [[연속 방정식]] ([[전하]] 보존 법칙)
:<math>\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}</math>
; 또는
:<math>\nabla \cdot \mathbf{J}_{tot} = 0</math>

;주
: <math>\mathbf{H}</math>는 맥스웰이 자기 강도라고 표현한 [[자기장]]이다.
: <math>\mathbf{J}</math>는 [[전류 밀도]]로 원격 전류가 갖는 총 전류를 뜻한다.
: <math>\mathbf{D}</math>는 맥스웰이 원격 전류라고 표현한 [[전기 변위장]]이다.
: <math>\rho\!</math>는 자유 전하 밀도로 맥스웰은 이를 자유 전하의 양이라고 표현하였다.
: <math>\mathbf{A}</math>는 [[자기 퍼텐셜]]로 맥스웰은 이를 각 임펄스로 표현하였다.
: <math>\mathbf{E}</math>는 맥스웰이 기전력이라고 표현한 것으로 오늘날 [[볼트 (단위)|볼트]]를 단위로 사용하는 [[기전력]]과 달리 [[전기장]]을 의미한다.
: <math>\sigma\!</math>는 [[도전율]]이다. (그 역수는 [[비저항]]인데, 오늘날 영어명은 "{{lang|en|resistivity}}"이고, 맥스웰은 이를 "{{lang|en|specific resistance}}"라 불렀다.)

이 책에서 표현된 방정식 D는 [[로런츠 힘]]의 효과를 나타낸 것으로 1861년 논문의 방정식 77번을 보다 간략하게 표현한 것이다. 또한, 맥스웰은 1865년 논문에서 [[전자기파 방정식]]을 정의하였는데 이 책의 방정식 D를 [[전자기 유도]]를 설명하기 위해 사용하였다. 오늘날에는 방정식 D 대신 [[패러데이 전자기 유도 법칙]]이 쓰인다. 맥스웰은 [[전자기파 방정식]]을 연구하는 과정에서 방정식 D의 <math>\mu \mathbf{v} \times \mathbf{H}</math>를 버렸다.

==== [[전기와 자기에 관한 논문집|《전기와 자기에 관한 논문집》 (1873년)]] ====
1873년 맥스웰이 출간한 [[전기와 자기에 관한 논문집|《전기와 자기에 관한 논문집》]]에서 방정식은 두 개의 묶음으로 나뉘었다.

;첫 번째 묶음
:<math>\mathbf{E} = - \nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} </math>
:<math>\mathbf{B} =  \nabla \times \mathbf{A}. </math>

;두 번째 묶음
:<math>\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho</math>
:<math>\nabla \times \mathbf{H} - \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = \mathbf{J}. </math>

== 수식 ==
다음은 [[국제단위계]]를 사용하여 수식으로 표현한 맥스웰 방정식이다.

{| class="wikitable" style="background-color:white;"
|-
! 이름
! [[미분]]형
! [[적분]]형
|-
|  [[가우스 법칙]]:
| <math>\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho </math>
| {{oiint|intsubscpt=<math>{\scriptstyle S}</math>|integrand=<math>\mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} =  \iiint_V \rho dV</math>}}
|-
| [[가우스 자기 법칙]]:
| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>
| {{oiint|intsubscpt=<math>{\scriptstyle S}</math>|integrand=<math>\mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0</math>}}
|-
| [[패러데이 전자기 유도 법칙]]:
| <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>
| {{oint|intsubscpt=<math>{\scriptstyle C}</math>|integrand=<math>\mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt }   \iint_S   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}</math>}}
|-
| [[앙페르 회로 법칙|앙페르-맥스웰 회로 법칙]]:
| <math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}</math>
| {{oint|intsubscpt=<math>{\scriptstyle C}</math>|integrand=<math>\mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \iint_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} +
{d \over dt} \iint_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}</math>}}
|}
[[발산정리]]와 [[스토크스의 정리]]를 이용하면 미분형과 적분형 방정식이 같음을 알 수 있다.

아래 표는 각 기호의 뜻과 단위를 나타낸다.
{| class="wikitable" style="background-color:white;"
|-
! 기호
! 의미
!단위
|-
| <math>\mathbf{E}</math>
|  [[전기장]]
|  [[미터]] 당 [[볼트 (단위)|볼트]] (V/m)
|-
| <math>\mathbf{H}</math>
| [[자기장|자계강도]]
| [[미터]] 당 [[암페어]] (A/m)
|-
| <math>\mathbf{D}</math>
| [[전기장|전기변위장]]
| [[제곱미터]] 당 [[쿨롱]] (C/m<sup>2</sup>)
|-
| <math>\mathbf{B}</math>
|  [[자기장]] (자기 선속 밀도)
|  [[테슬라 (단위)|단위]] (T)
|-
| <math>\ \rho \ </math>
| 자유 [[전하 밀도]]<br />(매질에 묶인 쌍극자 전하 제외)
|  세제곱[[미터]] 당 [[쿨롱]] (C/m<sup>3</sup>)
|-
|<math>\mathbf{J}</math>
| 자유 [[전류 밀도]]<br />(편파 혹은 자화전류 제외)
| 제곱[[미터]] 당 [[암페어]] (A/m<sup>2</sup>)
|-
| <math>d\mathbf{A}</math>
| 곡면 <math>S</math>에 대한 [[미분]] 수직 [[벡터 (물리)|벡터]] 요소
| 제곱[[미터]] (m<sup>2</sup>)
|-
|<math> dV \  </math>
| 곡면 ''S''에 둘러싸인 부피 미분 요소
| 세제곱[[미터]] (m<sup>3</sup>)
|-
| <math> d \mathbf{l} </math>
| 곡면 S의 둘레의 미분 벡터 요소
| [[미터]] (m)
|}

<math>\nabla \cdot</math>는 [[발산 (벡터)|발산]] 연산자(단위: 1 / 미터), <math>\nabla \times</math>는 [[회전 (벡터)|회전]] 연산자(단위: 1 / 미터)이다. 두 번째 방정식은 [[자기 홀극]]이 없음을 뜻한다. [[전기장]]과 [[자기장]]이 대전된 입자에 미치는 힘은 [[리엑턴스 힘]]에 따라 [[국제단위계]]에서 다음과 같다.
: <math>\mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})</math>.
여기서 <math>q</math>는 입자의 전하량이고 <math>\mathbf v</math>는 입자의 [[속도]]다. ([[CGS 단위계]]에서는 자기장을 다르게 정의하므로, <math>\mathbf v</math> 대신 <math>\mathbf v/c</math>를 쓴다.)

== CGS 단위계 ==
{{본문|CGS 단위계}}
위의 수식은 [[국제단위계]]로 표현되었지만, 다른 단위계에서도 맥스웰 방정식은 변하지 않거나, 약간의 상수 변화만이 있을 뿐이다. 물리학과 공학에서 일반적으로 가장 널리 쓰이는 국제단위계 이외에도 특수한 경우 [[CGS 단위계]]가 쓰인다.

== 같이 보기 ==
* [[변압기]]
* [[안테나]]
* [[앙페르 회로 법칙]]
* [[로런츠 힘]]
* [[레이저]]
* [[발전기]]
* [[자기 홀극]]

== 주해 ==
<references group="주해"/>

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자1 = 타케우치 아츠시|저자2 = 김현영(역자)|제목 = 高校數學でわかるマクスウェル方程式 ―電磁氣を學びたい人、學びはじめた|번역제목 = 고교수학으로 배우는 맥스웰의 방정식|출판사 = 홍|연도 = 2003년|ISBN = 8955171250}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* [https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3568105&cid=58941&categoryId=58960 네이버 캐스트 - 맥스웰 방정식]

{{상대론}}

{{전거 통제}}

[[분류:맥스웰 방정식| ]]
[[분류:동전기학]]
[[분류:물리학 개념]]
[[분류:사람 이름을 딴 낱말]]
[[분류:전자기학]]
[[분류:제임스 클러크 맥스웰]]
[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:물리학 방정식]]