맥스웰-볼츠만 통계 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{통계역학}}

[[통계역학]]에서 '''[[제임스 클러크 맥스웰|맥스웰]]-[[루트비히 볼츠만|볼츠만]] 통계'''({{lang|en|Maxwell–Boltzmann statistics}})는 양자 효과를 감안하기에는 미미할 정도로 온도가 높고 밀도가 낮은 경우에 한해 [[열적 평형]] 상태에서 다양한 입자의 통계적 분포를 설명한다.

== 개념 ==
각 상태에 있는 모든 알갱이 수에 대하여 합하여야만 한다. 즉 각 r에 대해서
<math>n_r=0,1,2, 3,\dots</math>
인데 고정된 총 알갱이 수에 대해 다음의 제한식을 따라야만 한다.
:<math>\sum_i N_i=N\,</math>
그런데 알갱이는 구별할 수 있는 것으로 또한 생각을 한다. 그러므로 다른 상태에 있는 두 알갱이의 어떤 순열은 비록 수 <math>\{n_1, n_2, n_3, \dots\}</math>는 바뀌지 않은 채로 남아 있지만 기체 전체의 구별되는 상태로 세어야만 한다. 이것은 각 한-알갱이 상태에 얼마나 많은 알갱이가 있는가를 명시하는 것이 충분하지 못해서가 아니라, 어느 상태에 있는 알갱이가 있는가를 명시하는 것이 필요하기 때문에 그렇다.

== 큰 분포함수 ==
:<math>
Z _G ^{MB} = \prod _{k=1} ^\infty \exp(z e ^{-\beta \epsilon_k})
</math>

여기서 <math>z = e ^{\beta\mu}</math>이다.

큰 분배함수는 다음과 같이 증명할 수 있다.

:<math>Z _G ^{MB} = \sum _{n_k} \frac{1}{n_1! n_2! \cdots} (e ^{-\beta (\epsilon_1 - \mu)}) ^{n_1} (e ^{-\beta (\epsilon_2 - \mu)}) ^{n_2} \cdots</math>
::<math>=\prod _{k=1} ^\infty \sum _{n_k = 0} ^\infty \frac{1}{n_k !} e ^{-\beta (\epsilon_k - \mu) ^{n_k}}</math>
::<math>=\prod _{k=1} ^\infty \sum _{n_k = 0} ^\infty \frac{1}{n_k !} (z e ^{-\beta\epsilon_k}) ^{n_k}</math>
::<math>=\prod _{k=1} ^\infty exp(z e ^{-\beta \epsilon_k})</math>

== 점유수 ==
맥스웰-볼츠만 통계에 따르면, 상태 ''i''에 놓여 있는 입자의 점유수는 다음과 같다.

:<math>
\frac{N_i}{N} = \frac {g_i} {e^{(\epsilon_i-\mu)/kT}} = \frac{g_i e^{-\epsilon_i/kT}}{Z}
</math>


:<math>N_i</math> : 상태 ''i''에 놓인 입자의 점유수
:<math>\epsilon_i</math> : 상태 ''i''에서의 에너지
:<math>g_i</math> : 상태 ''i''에서의 [[겹침]]
:μ : [[화학 퍼텐셜]]
:''k'' : [[볼츠만 상수]]
:''T'' : [[절대온도]]
:''N'' : 총 입자수
:<math>N=\sum_i N_i\,</math>

== 같이 보기 ==
* [[보즈-아인슈타인 통계]]
* [[페르미-디랙 통계]]

[[분류:통계역학]]
[[분류:물리학 개념]]
[[분류:제임스 클러크 맥스웰]]
[[분류:루트비히 볼츠만]]