매케이 화살집 문서 원본 보기

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[[군 표현론]]에서, '''매케이 화살집'''({{llang|en|McKay quiver}})은 [[유한군]]의 [[군의 표현|표현]]에 대하여 대응되는 유한 [[화살집 (수학)|화살집]]이다. [[SL(2;ℂ)]]의 유한 부분군의 경우 이는 ADE형의 [[딘킨 도표]]이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[유한군]] <math>G</math>
* [[체 (수학)|체]] <math>K</math>. 또한, <math>\operatorname{char}K \nmid |G|</math>라고 하자.
그렇다면, '''마슈케 정리'''({{llang|en|Maschke’s theorem}})에 의하여 모든 유한 차원 표현은 [[기약 표현]]의 직합으로 유일하게 분해된다.
이제, <math>G</math>의 <math>K</math>계수 [[기약 표현]]들이
:<math>(W_i)_{i\in I}</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>G</math>의 임의의 유한 차원 표현 <math>V</math>에 대하여 
:<math>V \otimes W_i = \bigoplus_{i\in I}n_{ij}V_j</math>
라고 하자 (<math>n_{ij}\in\mathbb N</math>).

그렇다면, <math>V</math>에 대응되는 '''매케이 화살집''' <math>\Gamma</math>는 다음과 같은 [[화살집 (수학)|화살집]]이다.
* <math>\operatorname V(\Gamma) = I</math>. 즉, <math>\Gamma</math>의 [[꼭짓점]]은 <math>G</math>의 기약 표현이다.
* <math>i,j\in I</math>에 대하여, 만약 <math>n_{ij}>0</math>라면 <math>i\to j</math> 변이 존재하며, 그 변의 수는 <math>n_{ij}</math>이다.

== 성질 ==
유한군 <math>G</math>의 표현 <math>\rho</math>의 쌍대 표현 <math>\rho^*</math>의 매케이 화살집은 <math>\rho</math>의 매케이 화살집의 반대 화살집(즉, 변의 방항을 모두 뒤집은 화살집)이다. 특히, 만약 <math>\rho</math>가 스스로의 쌍대 표현과 동형이라면, 그 매케이 화살집은 스스로의 반대 화살집과 동형이다.

== 예 ==
=== 자명한 표현의 메케이 화살집 ===
<math>G</math>의 자명한 표현 <math>1</math>에 대한 매케이 화살집은 모든 꼭짓점에 각각 고리({{llang|en|self-loop}})가 하나씩 달리며 다른 변은 존재하지 않는 [[화살집 (수학)|화살집]]이다.

=== SU(2)의 부분군 ===
특히, 만약 <math>G</math>가 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb C)</math>의 유한 부분군이라고 하고, <math>V=\mathbb C^2</math>가 2차원 복소수 정의(定義) 표현이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* <math>n_{ij} = n_{ji} \in \{0,1\}</math>이며, <math>n_{ii}=0</math>이다. 즉, 이 경우 매케이 [[화살집 (수학)|화살집]]은 단순히 [[그래프]]이며, 이 경우를 '''매케이 그래프'''라고 한다.
* 이 [[그래프]]는 ADE형의 확장 [[딘킨 도표]]의 하나이다.

이들은 다음과 같다.
{| class=wikitable style="text-align: center"
|-
! ADE 표기 || 이름 || SO(3) 부분군 || SO(3) 부분군의 [[콕서터 군]] 기호 || 크기 || [[다면체]] || [[기약 표현]]의 수 || 매케이 그래프
|-
| A<sub>''n''</sub> || [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(n+1)</math>
| colspan=2 | (없음) || ''n''+1 || 정<math>n+1</math>각뿔 || <math>n+1</math>
| <math>
\begin{smallmatrix}
\displaystyle\overset1\bullet&
\displaystyle-&
\displaystyle\overset1\bullet&
\displaystyle-&
\displaystyle\cdots&
\displaystyle-&
\displaystyle\overset1\bullet&
\displaystyle-&
\displaystyle\overset1\bullet\\
\displaystyle|&&&&&&&&\displaystyle|\\
\displaystyle\underset1\bullet&\displaystyle-&\displaystyle\underset1\bullet&\displaystyle-&\displaystyle\cdots&\displaystyle-&\displaystyle\underset1\bullet&\displaystyle-&\displaystyle\underset1\bullet
\end{smallmatrix}
</math>
([[원 그래프]]) 
|-
| D<sub>''n''</sub> || [[쌍순환군]] <math>\operatorname{Dic}(n-2)</math> || [[정이면체군]] || (2,2,''n''−2) || 4(''n''−2) || 정<math>n-2</math>각형 || <math>n+1</math> || <math>\underset1\bullet-\overset{{\displaystyle\overset1\bullet\atop\displaystyle|}}\underset2\bullet-\underset2\bullet-\cdots-\underset2\bullet-\overset{{\displaystyle\overset1\bullet\atop\displaystyle|}}\underset2\bullet-\underset1\bullet</math>
|-
| [[E₆|E<sub>6</sub>]] || 이진 정사면체군 || 정사면체군 || (2,3,3) || 24 || [[정사면체]] || 7 ||
<math>\begin{smallmatrix}
&&&&\displaystyle\overset1\bullet\\
&&&&\displaystyle|\\
&&&&\displaystyle\!\!\!{\scriptstyle2}{}\bullet{}{\scriptstyle\color{White}2}\!\!\!\\
&&&&\displaystyle|\\
\displaystyle\underset1\bullet&\displaystyle-&\displaystyle\underset2\bullet&\displaystyle-&\displaystyle\underset3\bullet&\displaystyle-&\displaystyle\underset2\bullet&\displaystyle-&\displaystyle\underset1\bullet
\end{smallmatrix}</math>
|-
| [[E₇|E<sub>7</sub>]] || 이진 정팔면체군 || 정팔면체군 || (2,3,4) || 48 || [[정육면체]] · [[정팔면체]]
| 8 || <math>\underset1\bullet-\underset2\bullet-\underset3\bullet-\overset{{\displaystyle\overset2\bullet\atop\displaystyle|}}\underset4\bullet-\underset3\bullet-\underset2\bullet-\underset1\bullet</math>
|-
| [[E₈|E<sub>8</sub>]] || 이진 정이십면체군 || 정이십면체군 || (2,3,5) || 120 || [[정십이면체]] · [[정이십면체]]
| 9 || <math>\underset2\bullet-\underset4\bullet-\overset{{\displaystyle\overset3\bullet\atop\displaystyle|}}\underset6\bullet-\underset5\bullet-\underset4\bullet-\underset3\bullet-\underset2\bullet-\underset1\bullet</math>
|}
매케이 그래프에서, 각 꼭짓점에 붙어 있는 정수는 해당 표현의 크기이다.

=== SU(3)의 부분군 ===
[[SU(3)]]의 정의 표현 '''3'''을 사용하여 SU(3)의 유한 부분군에 대하여도 마찬가지로 매케이 화살집을 정의할 수 있다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9811183|이름=Amihay|성=Hanany|이름2=Yang-Hui|성2=He|제목=Non-Abelian finite gauge theories|doi=10.1088/1126-6708/2003/02/023|저널=Journal of High Energy Physics|날짜=2003|권=0302|쪽=023|언어=en}}</ref> G<sub>2</sub>의 부분군의 경우에도 매케이 화살집들이 분류되었다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0210127|제목=G<sub>2</sub> quivers|이름=Yang-Hui|성=He|언어=en}}</ref>

== 응용 ==
유한군으로 정의된 [[오비폴드]]에 [[D-막]]을 배치하면, 그 위에는 [[화살집 게이지 이론]]이 존재하며, 이 경우 사용되는 [[화살집 (수학)|화살집]]은 유한군의 매케이 화살집이다. 이 경우 사용되는 표현은 (각 [[초다중항]]에 대하여) [[R대칭]]의 표현이다.

== 역사 ==
존 매케이({{llang|en|John McKay}})가 도입하였다.<ref>{{서적 인용 | first = John | last = McKay | 장 = Graphs, singularities and finite groups |제목=The Santa Cruz Conference on Finite Groups| editor1-first=Bruce |editor1-last=Cooperstein |editor2-first= Geoffrey |editor2-last=Mason| 총서= Proceedings of Symposia in Pure Mathematics | volume = 37 | publisher = American Mathematical Society | year  = 1981 | pages = 183–186 | doi=10.1090/pspum/037/604577|isbn=978-0-8218-1440-6|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용 | 이름1=David |성1=Ford|이름2 = John | 성2 = McKay  | chapter = Representations and Coxeter Graphs |title = The geometric vein. The Coxeter Festschrift | year = 1982 | publisher = Springer-Verlag |doi=10.1007/978-1-4612-5648-9_36|isbn= 978-1-4612-5650-2|editor1-last=Davis|editor1-first= C.|editor2-last= Grünbaum|editor2-first= B.|editor3-last= Sherk|editor3-first= F.A.|언어=en}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=McKay quiver}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.miami.edu/~armstrong/686sp13/McKay_Yi_Sun.pdf|제목=The McKay correspondence|이름=Yi|성=Sun|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:1184051/FULLTEXT01.pdf|제목=An introduction to the McKay correspondence|이름=Max|성=Lindh|언어=en}}

[[분류:그래프]]
[[분류:표현론]]