매듭 불변량 문서 원본 보기

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[[파일:Knot_table.svg|섬네일| 교차 수 불변량으로 정렬된 [[소 매듭]].]]
[[매듭 이론]]에서 '''매듭 불변량'''은 [[동치관계|동일한]] 각 [[매듭 (수학)|매듭]]에 대해 동일하게 정의되는 양이다. 이러한 양은 넓은 의미에서 어떤 수학적 대상도 될 수 있다. 매듭의 동일성은 주로 [[주변 동위 원소|주변 동위]]에 의해 주어지지만 [[위상동형사상|위상동형]]에 의해 주어질 수 있다.<ref>Schultens, Jennifer (2014). ''Introduction to 3-manifolds'', p.113. American Mathematical Society. {{ISBN|9781470410209}}</ref> 일부 불변량은 실제로 대수적인 의미의 수이지만,<ref name="Ricca" /> 불변량은 예/아니오 대답과 같은 단순한 것부터 [[호몰로지|호몰로지 이론]]과 같은 복잡한 것까지 다양하다. 예를 들어, 매듭 불변량은 매듭 {{수학|''K''}}에 양 {{수학|φ''K''}}를 할당하는 규칙이고, {{수학|''K''}} 와 {{수학|{{em|K'}}}} 가 동일하면 {{수학|φ(''K'') {{=}} φ({{em|K'}})}}이다.<ref name="Purcell" /> 불변량에 대한 연구는 한 매듭을 다른 매듭과 구별하는 기본적인 문제에 의해 동기가 부여될 뿐만 아니라 매듭의 기본 성질 및 수학의 다른 분야와의 관계를 이해하기 위한 것이다. 따라서 매듭 불변량은 매듭 분류에 사용되며,<ref name="Purcell">Purcell, Jessica (2020). ''Hyperbolic Knot Theory'', p.7. American Mathematical Society. {{ISBN|9781470454999}} "A ''knot invariant'' is a function from the set of knots to some other set whose value depends only on the equivalence class of the knot."</ref><ref name="M&S">Messer, Robert and Straffin, Philip D. (2018). ''Topology Now!'', p.50. American Mathematical Society. {{ISBN|9781470447816}} "A ''knot invariant'' is a mathematical property or quantity associated with a knot that does not change as we perform triangular moves on the knot.</ref> "열거"와 "중복 제거" 모두에서 사용된다.<ref name="Ricca">Ricca, Renzo L.; ed. (2012). ''An Introduction to the Geometry and Topology of Fluid Flows'', p.67. Springer Netherlands. {{ISBN|9789401004466}}.</ref>

현대적인 관점에서 [[매듭 이론|매듭 다이어그램]]으로부터 매듭 불변량을 정의하는 것이 자연스럽다. 물론 이는 [[라이데마이스터 변형]]에 의해 바뀌지 않아야 한다. 즉, 라이데마이스터 변형에 대해 ''불변''이다. [[삼색 칠하기 가능|삼색 칠하기 가능성]](및 ''n''-색칠 가능성)은 특히 간단하고 일반적인 예이다. 다른 예는 [[존스 다항식]]과 같은 [[매듭 다항식]]이다. 매듭 다항식은 현재 매듭을 서로 구별하는 데 가장 유용한 불변량 중 하나이지만, 현재 모든 매듭을 서로 구별하는 매듭 다항식이 있는지 여부는 알려져 있지 않다. 그러나 호바노프 호몰로지 및 [[플뢰어 호몰로지|매듭 플뢰어 호몰로지]]와 같이 [[풀린매듭]]을 다른 모든 매듭과 구별하는 불변량은 존재한다.

다른 불변량은 매듭 다이어그램의 일부 정수 값 함수를 고려하고 주어진 매듭의 모든 가능한 다이어그램에 대해 최소값을 취함으로써 정의될 수 있다. 이 범주에는 매듭 다이어그램에 대한 최소 교차 수인 [[교차 수(매듭 이론)|교차 수]]와 매듭 다이어그램에 대한 최소 다리 수인 [[브리지 번호|다리 수]]가 포함된다.

역사적으로 초기 매듭 불변량의 대부분은 먼저 다이어그램을 선택하여 정의되지 않고 본질적으로 정의되어 이러한 불변량 중 일부를 계산하는 것이 어려울 수 있다. 예를 들어, [[자이페르트 곡면|매듭 종수]]는 계산하기가 특히 까다롭지만 효과적일 수 있다(예: {{임시링크|변이 (매듭 이론)|en|Mutation (knot theory)|label=변이}}를 구별하는 경우).

매듭 자체의 여공간([[위상 공간 (수학)|위상수학적 공간]]으로서의)은 주어진 매듭을 주변 동위 및 [[거울상(매듭 이론)|거울상]]까지 다른 모든 매듭과 구별한다는 의미에서 [[고든-루케 정리|Gordon-Luecke 정리]]에 의해 매듭의 "완전 불변량"으로 알려져 있다. 매듭의 여공간과 관련된 일부 불변량에는 여공간의 [[기본군]]인 [[매듭군]]이 포함된다. 매듭 퀀들({{Llang|en|knot quandle}}) 도 이러한 의미에서 완전 불변이지만 두 개의 퀀들이 동형인지 여부를 결정하기는 어렵다.

Mostow-Prasad 강성에 의해 쌍곡 연환의 여공간에 대한 쌍곡 구조는 유일하다. 이는 쌍곡 부피가 이러한 매듭과 연환에 대해 불변임을 의미한다. 부피 및 기타 쌍곡 불변량은 [[매듭 이론|매듭표 작성]]에 대한 광범위한 노력의 일부에 활용되어 매우 효과적인 것으로 입증되었다.

최근 몇 년 동안 잘 알려진 불변량을 [[분류|범주화]]하는 매듭의 [[호몰로지]] 불변량에 대한 관심이 높아지고 있다. [[플뢰어 호몰로지|Heegaard 플뢰어 호몰로지]]는 [[오일러 지표]]가 매듭의 [[알렉산더 다항식]]인 [[호몰로지|호몰로지 이론]]이다. 호몰로지 불변량은 고전적 불변량에 대한 새로운 결과를 추론하는 데 효과적인 것으로 입증되었다. 다른 연구 라인을 따라, 오일러 지표가 [[존스 다항식]]인 [[호바노프 상동성|호바노프 호몰로지]]라고 하는 매듭에 대해 조합적으로 정의된 코호몰로지 이론이 있다. 이것은 최근에 이전에는 증명에 [[게이지 이론]]이 필요한 [[슬라이스 속|슬라이스 종수]]의 경계를 얻는 데 유용한 것으로 나타났다. [[미하일 호바노프|Mikhail Khovanov]]와 Lev Rozansky는 그 이후로 오일러 지표가 다른 고전적 불변량을 복구하는 여러 다른 관련 코호몰로지 이론을 정의했다. [[카타리나 스트로펠|Catharina Stroppel]]은 양자군 불변량을 범주화하여 호바노프 호몰로지에 대한 이론적인 해석을 제시했다.

매듭 이론가와 과학자 모두 매듭의 "물리적" 또는 기하학적 특성을 이해하고 이를 위상 불변량 및 매듭 유형과 관련시키는 데 관심이 커지고 있다. 이 방향의 오래된 결과는 [[Fáry–Milnor 정리|Fáry-Milnor 정리]]인데, 정리에 따르면 <math>\R^3</math>안의 매듭 {{수학|''K''}}와 {{수학|''p''}}에서의 곡률 {{수학|''κ''(''p'')}}에 대해 {{수학|''K''}}의 전체 곡률이 부등식 <math>\oint_K \kappa \,ds \leq 4\pi</math>을 만족한다면,  {{수학|''K''}}는 풀린매듭이다.

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따라서 매듭이 있는 곡선의 경우 <math>\oint_K \kappa\,ds > 4\pi</math>을 만족한다.

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"물리적" 불변량 의 예는 특정 매듭 유형을 실현하는 데 필요한 단위 직경 밧줄의 길이인 {{임시링크|밧줄 길이|en|ropelength}}이다.

== 기타 불변량 ==

* [[연환수]]
* 유한 유형 불변량 (또는 Vassiliev 또는 Vassiliev–Goussarov 불변)
* 막대수

== 출처 ==
{{각주}}

== 추가 자료 ==

* {{서적 인용|제목=Knots and Links|성=Rolfsen|이름=Dale|연도=2003|출판사=AMS|위치=Providence, RI|isbn=0-8218-3436-3}}
* {{서적 인용|제목=The Knot Book: an Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots|성=Adams|이름=Colin Conrad|연도=2004|판=Repr., with corr|출판사=AMS|위치=Providence, RI|isbn=0-8218-3678-1}}
* {{서적 인용|제목=Knots|성=Burde|이름=Gerhard|성2=Zieschang|이름2=Heiner|연도=2002|판=2nd rev. and extended|출판사=De Gruyter|위치=New York|isbn=3-11-017005-1}}

== 외부 링크 ==

* {{웹 인용|url=https://knotinfo.math.indiana.edu/|제목=KnotInfo: Table of Knot Invariants|성=Cha|이름=Jae Choon|성2=Livingston|이름2=Charles|웹사이트=Indiana.edu|확인날짜=17 August 2021}}
* "Invariants", The Knot Atlas.
[[분류:매듭 불변량]]