매듭군 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 [[매듭 (수학)|매듭]]은 3차원 [[유클리드 공간]]에 [[원 (기하학)|원]]을 [[매장 (수학)|매장]]하는 것이다. 매듭 <math>K</math>의 '''매듭군'''은 <math>\mathbb{R}^3</math>에서 <math>K</math>의 여공간의 [[기본군]] <math>\pi_1(\mathbb{R}^3 \setminus K)</math>이다.

다른 관례로는 매듭이 [[3차원 초구]]에 포함된 것으로 간주하며, 이 경우 매듭군은 <math> S^3</math>에서 여공간의 기본군이다.

== 성질 ==
두 개의 같은 매듭은 [[동형 사상|동형]] 매듭군을 가지므로 매듭군은 [[매듭불변량|매듭 불변량]]이며 특정 쌍의 같지 않은 매듭을 구별하는 데 사용할 수 있다. 이는 두 매듭 사이의 동형이 항등사상과 동위이고 한 매듭을 다른 매듭으로 사상하는 <math>\mathbb{R}^3</math>의 자기 위상동형사상이기 때문이다. 이러한 [[위상동형사상|위상동형]]은 매듭의 여공간의 동형으로 제한되며, 이러한 제한된 동형은 기본군의 동형을 유도한다. 그러나 두 개의 같지 않은 매듭이 동형 매듭군을 가질 수 있다(아래 예 참조).

매듭군의 [[교환자 부분군|아벨화]]는 항상 무한 [[순환군]] <math>\mathbb{Z}</math>와 동형이다. 이는 매듭군의 아벨화가 쉽게 계산될 수 있는 첫 번째 [[호몰로지|호몰로지 군]]과 일치하기 때문이다.

매듭군(또는 일반적으로 유향 연환의 기본군)은 Wirtinger 표현에서 비교적 간단한 알고리즘으로 계산할 수 있다.

== 예 ==

* [[풀린매듭]]은 <math>\mathbb{Z}</math>와 동형인 매듭군을 가진다.
* [[세잎매듭]]은 [[꼬임군 (위상수학)|꼬임군]] <math>B_3</math>와 동형인 매듭군을 가진다. 이 군은 다음 [[군의 표시|표시]]를 갖는다.

: <math>\langle x,y \mid x^2 = y^3 \rangle</math> 또는 <math>\langle a, b \mid aba = bab \rangle</math>

* <math>(p, q)</math>-[[원환면 연환|원환면 매듭]]의 매듭군은 다음 표시를 갖는다.

: <math>\langle x,y \mid x^p = y^q \rangle</math>

* [[8자매듭]]의 매듭군은 다음 표시를 갖는다.

: <math>\langle x,y \mid yxy^{-1}xy=xyx^{-1}yx\rangle</math>

* [[사각매듭]]과 [[할머니 매듭]]은 동형인 매듭군을 갖지만 두 매듭은 동일하지 않다.

== 같이 보기 ==
* [[연환군]]

== 추가 자료 ==

* [[헤이즈윙켈, 마이클|Hazewinkel, Michiel]], ed. (2001), " [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Knot_and_link_groups 매듭과 연환 군] ", [[Encyclopedia of Mathematics|수학 백과사전]], Springer, {{ISBN|978-1556080104}}

[[분류:매듭 불변량]]