매끄러운 다양체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''매끄러운 다양체'''({{llang|en|smooth manifold}}) 또는 '''미분 가능 다양체'''(微分可能多樣體, {{llang|en|differentiable manifold}})는 [[미적분학]]을 전개할 수 있는 구조가 주어진 [[다양체]]이다. 매끄러운 다양체 위에서는 함수의 [[미분]]과 [[적분]] 및 [[벡터장]]이나 [[미분 형식]]과 같은 해석학적 대상들을 정의할 수 있다.

== 정의 ==
[[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>n</math>차원 [[다양체]] <math>M</math> 위의 '''좌표근방계'''(座標近傍系, {{llang|en|atlas}}) <math>\Phi</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>\Phi</math>는 [[함수]]의 [[집합]]이며, <math>\Phi</math>의 각 원소 <math>\phi\in\Phi</math>는 [[매장 (수학)|매장]] <math>\phi\colon\operatorname{dom}\phi\hookrightarrow\mathbb R^n</math>이다. 또한, [[정의역]] <math>\operatorname{dom}\phi\subseteq M</math>은 <math>M</math>의 [[열린 집합]]이며, [[치역]] <math>\phi(\operatorname{dom}\phi)</math>는 <math>\mathbb R^n</math>의 [[열린 집합]]이다.
이 구조는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.
* <math>\bigcup_{\phi\in\Phi}\operatorname{dom}\phi=M</math>. 즉, <math>\{\operatorname{dom}\phi\}_{\phi\in\Phi}</math>는 <math>M</math>의 [[열린 덮개]]이다.
* 임의의 <math>\phi,\psi\in\Phi</math>에 대하여, 만약 <math>\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi\ne\varnothing</math>이라면, <math>\psi|_{\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi}\circ \phi^{-1}|_{\phi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)}\colon\phi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)\to\psi(\operatorname{dom}\phi\cap\operatorname{dom}\psi)</math>는 [[매끄러운 함수]]이다. 이러한 함수를 '''추이 사상'''({{llang|en|transition map}})이라고 한다.
'''매끄러운 다양체''' <math>(M,\Phi)</math>는 좌표근방계를 갖춘 [[다양체]]이다.

만약 추이 사상에 대한 조건을 <math>\mathcal C^k</math>로 약화시킨다면, 이를 '''<math>\mathcal C^k</math> 다양체'''라고 한다. 만약 추이 사상에 대한 조건을 [[해석 함수]]로 강화시킨다면, 이를 '''해석 다양체'''(解析多樣體, {{llang|en|analytic manifold}})라고 한다.

같은 [[다양체]] <math>M</math> 위의 두 좌표근방계 <math>\Phi</math>, <math>\Phi'</math>에 대하여, 만약 <math>\Phi\cup\Phi'</math>이 역시 좌표근방계를 이룬다면 두 좌표계가 서로 '''호환'''된다고 한다. 이는 [[동치 관계]]를 이룬다. 또한, <math>M</math> 위의 모든 좌표근방계들의 집합은 포함 관계 <math>\subseteq</math>에 대하여 [[부분 순서 집합]]을 이루며, 이에 대한 [[극대 원소]]를 '''극대 좌표근방계'''(座標近傍系, {{llang|en|maximal atlas}})라고 한다. 임의의 좌표근방계 <math>\Phi</math>에 대하여 <math>\Phi\subseteq\Phi'</math>인 극대 좌표근방계 <math>\Phi'</math>이 항상 유일하게 존재한다. 서로 호환되는 두 좌표근방계는 [[미분동형]] 매끄러운 다양체를 정의한다. 즉, 극대 좌표근방계는 좌표근방계의 호환 관계에 대한 [[동치류]]와 [[일대일 대응]]하며, 이 때문에 극대 좌표근방계를 '''매끄러움 구조'''({{llang|en|smooth structure}})라고 하기도 한다.

두 매끄러운 다양체 사이의 '''[[매끄러운 함수]]''' <math>f\colon(M,\Phi)\to(N,\Psi)</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[연속 함수]]이다.
* 임의의 <math>\phi\in\Phi</math> 및 <math>\psi\in\Psi</math>에 대하여, 만약 <math>f(\operatorname{dom}\phi)\cap\operatorname{dom}\psi\ne\varnothing</math>이라면, <math>\psi|_{\operatorname{dom}\psi\cap f(\operatorname{dom}\phi)}\circ\phi^{-1}|_{\phi(\operatorname{dom}\phi\cap f^{-1}(\operatorname{dom}\psi))}\colon\phi(\operatorname{dom}\phi\cap f^{-1}(\operatorname{dom}\psi))\to\psi(\operatorname{dom}\psi\cap f(\operatorname{dom}\phi))</math>는 (유클리드 공간 사이의) [[매끄러운 함수]]이다.
두 <math>\mathcal C^k</math> 다양체 사이의 <math>\mathcal C^k</math> 함수 역시 마찬가지로 정의한다. 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 [[범주 (수학)|범주]]는 <math>\operatorname{Diff}</math>라고 쓴다. 이 범주에서의 [[동형]]을 '''[[미분동형]]'''이라고 한다.

== 성질 ==
<math>k\ge1</math>에 대하여, <math>\mathcal C^k</math> 다양체의 범주는 매끄러운 다양체의 범주와 [[범주의 동치|동치]]이다. [[다양체]] <math>M</math> 위의 임의의 <math>\mathcal C^k</math> 좌표근방계 <math>\Phi</math>에 대하여, 이와 <math>\mathcal C^k</math>-호환되는 유일한 (매끄러운) 극대 좌표근방계 <math>\Phi_\infty</math>가 항상 유일하게 존재한다. 이 사실은 [[해슬러 휘트니]]가 증명하였다. 따라서, <math>\mathcal C^k</math> 다양체들은 보통 직접적으로 다룰 필요가 없다.

=== 범주론적 성질 ===
매끄러운 다양체의 범주 <math>\operatorname{Diff}</math>는 유한 [[곱 (범주론)|곱]]을 가지며, [[다양체]]의 범주로의 망각 함자 <math>\operatorname{Diff}\to\operatorname{TopMfd}</math>는 곱을 보존한다. 구체적으로, 다양체 <math>(M,\Phi)</math>와 <math>(N,\Psi)</math>의 곱 <math>(M\times N,\Phi\times\Psi)</math>는 다음과 같다.
* <math>M\times N</math>은 ([[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서의) [[곱공간]]이다.
* <math>\Phi\times\Psi=\{(m,n)\in\operatorname{dom}\phi\times\operatorname{dom}\psi\mapsto(\phi(m),\psi(n))\in\mathbb R^{\dim M}\times\mathbb R^{\dim N}\colon\phi\in\Phi,\psi\in\Psi\}</math>이다.
<math>M\times N</math>은 <math>\dim M+\dim N</math>차원 매끄러운 다양체이다.
그러나 두 매끄러운 다양체 사이의 함수 공간은 무한 차원의 공간이므로 다양체가 아니며, 따라서 미분 다양체의 범주는 [[데카르트 닫힌 범주]]가 아니다.

=== 매끄러움 구조의 존재와 유일성 ===
3차원 이하의 차원의 [[다양체]]는 항상 유일한 극대 좌표근방계를 갖는다. 4차원 이상의 차원에서는 좌표근방계가 존재할 수 없는 다양체도 존재하고, 또 서로 다른 두 극대 좌표근방계를 갖는 다양체도 존재한다.

== 분류 ==
3차원 이하에서, 모든 [[다양체]]는 유일한 매끄러움 구조를 갖는다. 따라서, 3차원 이하의 매끄러운 다양체의 분류는 [[다양체]]의 분류와 같다.
* 0차원 매끄러운 다양체 <math>S</math>는 [[이산 공간]]이다. 이 위에는 유일한 극대 좌표근방계가 존재하며, 구체적으로 <math>S</math>의 임의의 부분 집합에서 <math>\mathbb R^0=\{0\}</math>으로 가는 모든 함수들의 [[집합]]이다.
* 1차원 매끄러운 다양체의 각 연결 성분은 원 <math>S^1</math> 또는 실수선 <math>\mathbb R</math>이다.
* 2차원 매끄러운 다양체의 분류는 매우 복잡하지만, [[콤팩트 공간|콤팩트]] 2차원 매끄러운 다양체들은 그 [[오일러 지표]]에 따라 간단히 분류된다.
* 3차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 매끄러운 다양체는 [[기하화 추측]]에 따라 분류된다.
4차원의 경우, [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[다양체]]들은 모두 분류되었지만, 이들 위의 매끄러움 구조들의 분류는 미해결 난제이다. 5차원 이상의 매끄러운 다양체들은 [[수술 이론]]을 사용하여 분류된다.

== 예 ==
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 [[열린 집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math>에, 하나의 포함 함수로만 구성된 다음과 같은 좌표근방계를 부여하자.
* <math>\{\iota_U\colon U\hookrightarrow\mathbb R^n\}</math>
이는 좌표근방계를 이루며, 이를 부여하면 <math>U</math>은 <math>n</math>차원 매끄러운 다양체를 이룬다.

[[초구]] <math>S^n</math>나 [[원환면]] <math>T^n</math> 등 역시 매끄러운 다양체의 예이다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=The notion of abstract manifold: a pedagogical approach|이름=Konstantinos|성=Kanakoglou|날짜=2012-04-10|arxiv=1204.2191|bibcode=2012arXiv1204.2191K}}

== 같이 보기 ==
* [[다양체]]
* [[리만 다양체]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Differentiable manifold}}
* {{매스월드|id=SmoothManifold|title=Smooth manifold}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/smooth+manifold|제목=Smooth manifold|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Diff|제목=Diff|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://hyukkim.diagram.site/tl/manifold/manifold|제목=미분다양체 강의록|저자=김혁|공저자=김명일, 김선영, 조재현, 최진원, 김래용, 임숙빈|날짜=2003-08|출판사=서울대학교}}
{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:다양체 상의 구조]]
[[분류:매끄러운 다양체| ]]