망델브로 집합 문서 원본 보기

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[[파일:Mandelset hires.png|섬네일|300px|망델브로 집합]]
'''망델브로 집합'''({{llang|en|Mandelbrot set}})은 [[브누아 망델브로]]가 고안한 [[프랙탈]]의 일종이다.

== 정의 ==
망델브로 집합은 다음 점화식으로 정의된 수열이 발산하지 않는 성질을 갖도록 하는 [[복소수]] c의 집합으로 정의된다.
:<math>z_0 = 0</math> (단, <math>z_n</math>은 복소수)
:<math>z_{n+1} = z_n^2 + c</math>
:
이를 복소수를 사용하지 않고 정의하려면 모든 복소수를 실수부와 허수부로 나누면 된다. 만약 z<sub>n</sub>을 (x<sub>n</sub>,y<sub>n</sub>)로, c를 (a,b)로 바꾸면 위 식은 다음과 같이 된다.
:(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>)=(0,0)
:x<sub>n+1</sub> = x<sub>n</sub><sup>2</sup> - y<sub>n</sub><sup>2</sup> + a
:y<sub>n+1</sub> = 2 x<sub>n</sub> y<sub>n</sub> + b (단, x<sub>n</sub>,y<sub>n</sub>,a,b는 [[실수]].)
가 된다.

이 집합의 이름은 이를 고안한 프랑스의 수학자 [[브누아 망델브로]]의 이름을 따라서 만들었졌는데, 원래 독일어(또는 이디시어) 이름대로 '만델브로트' 집합이라 불리기도 한다. 또 다른 망델브로 집합 표기로 f(z) = z<sup>2</sup> + c라고 표기하기도 한다. 함수로 표현하면 f(z) = z<sup>2</sup> + c가 된다.

== 집합을 그리는 법 ==
망델브로 집합을 실제로 그릴 때에는 점화식에 따라 z<sub>n</sub>을 계산하면서 수열이 발산하는지 그렇지 않은지를 대수적으로 검사하게 된다. z<sub>n</sub>의 [[절댓값]]이 2보다 크다면(즉, x<sub>n</sub><sup>2</sup>+y<sub>n</sub><sup>2</sup>>2<sup>2</sup>이라면) z<sub>n</sub>은 발산한다고 말할 수 있으며, 이 때의 c는 망델브로 집합에 속해 있지 않는다. 이 때의 2라는 값은 발산하는 수열의 계산을 미리 막아 주는 역할을 하며, 경계값이라고 부른다. 반면 망델브로 안에 속해 있는 점의 경우 z<sub>n</sub>은 발산하지 않으므로 무한히 계산해도 끝나지 않을 것이다. 이런 경우에는 적절한 n값 이후에 계산을 멈추어야만 한다. 무한히 계산하지 않는 한 우리는 이론적인 망델브로 집합이 아닌 이에 근사한 집합만 얻을 수밖에 없다.

수학적인 의미에서 망델브로 집합을 그린다면 집합 안의 부분과 밖의 부분 두 가지만 의미가 있으며 단 두 가지 색으로만 칠해져도 충분하다. 하지만 많은 프랙탈 생성 소프트웨어에서는 처음으로 경계값을 벗어난 z<sub>n</sub>의 n값에 따라 망델브로 집합 바깥의 영역을 다른 색으로 칠한다. 예를 들어 가장 빨리 발산하는 점은 어두운 녹색으로, 그리고 발산속도가 느려질수록 더욱더 밝은 녹색으로 칠하면 이론적으로 발산속도가 늦어질수록 그 c값은 망델브로 집합에 가깝다는 뜻이며 이를 시각적으로 알 수 있다.

망델브로 집합에 색을 입히는 방법에 따라서 예술적인 그림이 나올 수 있으며 이를 이용한 [[프랙탈 예술]]도 있다.

== 성질 ==
[[파일:Mandelbrot sequence new.gif|프레임]]

=== 자기 유사성 ===
망델브로 집합은 통계적인 자기 유사성을 지닌다.

=== 차원 ===
망델브로 집합의 경계의 [[하우스도르프 차원]]은 2차원이다. (망델브로 집합 자체도 물론 2차원이다.)<ref>{{저널 인용|이름=Mitsuhiro|성=Shishikura|제목=The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets|arxiv=math/9201282}}</ref>

=== 쥘리아 집합과의 관계 ===
망델브로 집합은 [[쥘리아 집합]](Julia set)의 일종의 "지도"가 된다. 망델브로가 그려지는 복소 평면의 각 점이 쥘리아 집합의 초기값과 일대일 대응이 될 수 있는데, 망델브로 집합 내부의 점에 대응하는 쥘리아 집합은 [[연결 공간]]인 반면, 바깥의 점들은 연결 공간이 아닌 쥘리아 집합에 대응하기 때문이다.

== 망델브로 집합의 변형 ==
[[복소수]]의 다른 점화식으로 정의되는 다른 프랙탈의 경우도 망델브로 집합에 대응되는 것과 쥘리아 집합에 대응되는 것 두 종류가 있을 수 있으며 실제로도 종종 해당되는 프랙탈의 망델브로 집합과 쥘리아 집합이라고 불리기도 한다. 예를 들어 다음 식으로 정의되고 "피닉스 집합(phoenix set)"이라고 불리는 프랙탈의 경우,
:<math>x_{n+1} = x_{n}^{2} + y_{n}^{2} + a + b x_{n-1}</math>
:<math>y_{n+1} = 2 x_{y}y_{n} + b y_{n-1}</math>
우리는 x와 y의 초기치를 (x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>)=(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>)=(0,0)으로 놓고 "피닉스의 망델브로 집합Mandel-type phoenix"을 그릴 수 있고 임의의 c값에 대해서 "피닉스의 쥘리아 집합Julia-type phoenix"을 그릴 수도 있다. 이렇게 만들어진 집합에서도 망델브로 집합은 쥘리아 집합의 "지도"가 되며 망델브로 집합의 안의 점에 대응되는 쥘리아 집합은 connected이며 바깥의 점에 대응되는 것은 disconnected인 성질이 보존된다.

한 개의 변수 c 대신 여러 개의 변수를 사용할 수도 있다. 이 때의 망델브로 집합은 쥘리아 집합의 완전한 지도가 되기 위해서 2차원 이상의 차원을 가져야 할 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[부다브로]]
* [[멩거 스펀지]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용|Mandelbrot set}}
* ''프랙탈과 카오스'', 안대영 ; 교우사 ; {{ISBN|978-89-8172-947-9}}(2015.3.5)
* [http://cafe.naver.com/chaosfractals/3560 프랙탈을 찾는 사람들]
* {{언어링크|en}} [http://mandelbrot-set.sellit.pl/ "Mandelbrot set - online generator"]
* [http://www.ultrafractal.com/ Ultra Fractal] - 가장 대중적인 소프트웨어 (윈도)
* [https://web.archive.org/web/20080506072938/http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html Fractint] - 거의 모든 플랫폼 지원. (도스, 윈도, 리눅스, 유닉스, ...)
* "[https://web.archive.org/web/20030719025142/http://skyscraper.fortunecity.com/terabyte/966/ Makin' Magic Fractals]"
* [http://www.chaospro.de/ ChaosPro] - (윈도)
* [http://xaos.sourceforge.net/ Xaos] - 실시간 확대/축소 가능. (오픈소스 - 윈도, 맥킨토시, 리눅스, etc.)
* [https://web.archive.org/web/20071129201106/http://www.apophysis.org/ Apophysis] - 가볍고 다루기 편함.

{{프랙탈}}

{{전거 통제}}

[[분류:프랙탈]]
[[분류:복소동역학]]