만델스탐 변수 문서 원본 보기

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[[산란]] 이론에서, '''만델스탐 변수'''({{llang|en|Mandelstam variable}})는 두 [[입자]]가 산란하여 튕겨나오는 과정에서, 각 입자의 초기 4차원 운동량과 나중 4차원 운동량의 관계를 나타내는 세 변수 ''s'', ''t'', ''u''다. 단위는 에너지의 제곱. [[남아공]]의 물리학자 [[스탠리 만델스탐]](Stanley Mandelstam)이 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Mandelstam|이름=Stanley|연도=1958|제목=Determination of the Pion-Nucleon Scattering Amplitude from Dispersion Relations and Unitarity. General Theory|저널=Physical Review|권=112|호=4|쪽=1344–1360|doi=10.1103/PhysRev.112.1344|bibcode=1958PhRv..112.1344M|url=http://imotiro.org/repositorio/howto/artigoshistoricosordemcronologica/1958%20-MANDELSTAM%201958%20Dispersion%20relation%20in%20two%20variables%20-%20the%20Mandelstam%20representation.pdf|확인날짜=2012-10-05|보존url=https://web.archive.org/web/20160304214428/http://www.imotiro.org/repositorio/howto/artigoshistoricosordemcronologica/1958%20-MANDELSTAM%201958%20Dispersion%20relation%20in%20two%20variables%20-%20the%20Mandelstam%20representation.pdf#|보존날짜=2016-03-04|url-status=dead}}</ref>
<!--
"만델스탐"의 표기에 대해: "Mandelstam" 은 아프리칸스어 (Afrikaans) 이름으로, 대략 "아몬드 나무"를 뜻한다. (amandel + stam) 아프리칸스어는 공식 외래어표기법이 없지만, 국제음성부호 표나 유사한 네덜란드어 표기법으로 표기하면 "만델스탐" 정도. 반면 "Stanley"는 분명 영어식 이름이다.
-->

== 정의 ==
+−−− [[계량 부호수]]를 사용하자. [[사차원 운동량]]이 각각 <math>p_1</math>와 <math>p_2</math>인 두 개의 입자가 입사하여, 산란 뒤 각각 <math>p_3</math>와 <math>p_4</math>의 [[사차원 운동량]]을 가지게 된다고 하자. 그렇다면 '''만델스탐 변수''' <math>s</math>, <math>t</math>, <math>u</math>는 다음과 같다.
:<math>s=(p_1+p_2)^2=(p_3+p_4)^2</math>
:<math>t=(p_1-p_3)^2=(p_2-p_4)^2</math>
:<math>u=(p_1-p_4)^2=(p_2-p_3)^2</math>.
여기서 ''s''는 [[무게중심]] [[기준틀]]에서 관측한 [[에너지]]의 제곱과 같다. ''t''는 한 입자에서 다른 입자로 옮겨간 [[운동량]]의 정도(의 제곱)으로 해석할 수 있다.

세 만델스탐 변수들은 서로 독립적이지 않으며, 다음과 같은 관계를 만족시킨다.
:<math>s+t+u=m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2</math>
여기서 <math>m_i^2=p_i^2</math>는 각 입자의 제곱 [[불변 질량]]이다.

만약 산란 뒤 입자가 산란 이전 입자와 다를 경우, 서로 유사한 입자의 운동량을 <math>p_1</math>과 <math>p_3</math> (또는 <math>p_2</math>와 <math>p_4</math>)로 간주한다. 예를 들어,
: e<sup>+</sup>+e<sup>−</sup> <math>\to</math> μ<sup>+</sup>+μ<sup>−</sup>
와 같은 경우, [[전자]] (e<sup>−</sup>)와 [[뮤온]](μ<sup>−</sup>)이 서로 유사하므로 이들을 각각 <math>p_1</math>과<math>p_3</math>로 간주한다.

== 파인먼 도형의 모양 ==
이 세 변수에 비례하는 [[산란 진폭]] 성분을 나타내는 [[파인먼 도형]]은 다음과 같이 특정한 모양을 지닌다. 이런 모양의 파인먼 도형에 해당하는 산란 진폭 성분을 '''s 채널''' · '''t 채널''' · '''u 채널'''로 부른다.
:{|cellpadding="10"
|[[파일:S-channel.svg|150px]]
|[[파일:T-channel.svg|150px]]
|[[파일:U-channel.svg|150px]]
|-
|align="center"|<math>s</math> 채널
|align="center"|<math>t</math> 채널
|align="center"|<math>u</math> 채널
|}

== 임의의 차원에서의 만델스탐 변수 ==
일반적으로, <math>D</math>차원에서 <math>N>2</math>개의 입자의 산란을 생각하자. 초기 상태의 입자는 운동량의 시간 성분이 양수로, 최종 상태의 입자는 운동량의 시간 성분이 음수로 놓자. 운동량들을 <math>p_1,\dots,p_N</math>이라고 놓자. 그렇다면, 다음과 같은 '''만델스탐 변수''' <math>s_{ij}</math>는 다음과 같다.
:<math>s_{ij}=(p_i+p_j)^2\qquad(1\le i<j\le N)</math>
즉, 총 <math>N(N-1)/2</math>개의 변수들이 존재한다. 이들 사이에는 다음과 같은 일련의 상관관계가 존재한다.
:<math>\sum_{j\ne i}s_{ij}=\sum_{j=1}^Nm_j^2+(N-4)m_i^2</math>
4차원에서는
:<math>s=s_{12}</math>
:<math>t=s_{13}</math>
:<math>u=s_{14}</math>
이므로, 이 상관관계는 4차원에서의 상관관계
:<math>s+t+u=\sum_{i=1}^4m_i^2</math>
의 일반화이다.

=== 독립 만델스탐 변수들의 수 ===
편의상
:<math>D'=D-\min\{N,D\}</math>
로 정의하자. 운동량들 사이에는 다음과 같은 조건들이 존재한다.
* ([[질량껍질]] 조건) <math>p_i^2=m_i^2\;\forall i=1,\dots,N</math>
* ([[운동량 보존 법칙]]) <math>\sum_{i=1}^Np_i=0</math>
또한, [[로런츠 변환]]을 통해
:<math>D(D-1)/2</math>
개의 추가 제약을 가할 수 있으나, 이들 가운데
:<math>D'(D'-1)/2</math>
개는 자명하게 [[군의 작용|작용]]한다. 따라서, 독립적인 만델스탐 변수의 개수는
:<math>ND-N-D+D'-D(D-1)/2+D'(D'-1)/2=\begin{cases}
N(D-1)-D(D+1)/2&D\le N\\
N(N-3)/2&D-1\ge N
\end{cases}
</math>
이다.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ 다양한 차원에서 독립 만델스탐 변수들의 수
|-
! 입자 수 ''N'' !! ''D'' = 2 !! ''D'' = 3 !! ''D'' = 4 !! ''D'' = 5 !! ''D'' = 6
|-
! 3
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|-
! 4
| 1 || 2 || 2 || 2 || 2
|-
! 5
| 2 || 4 || 5 || 5 || 5
|-
! 6
| 3 || 6 || 8 || 9 || 9
|}

=== 2차원 만델스탐 변수 ===
2차원에서는 2→2 산란 과정에서 오직 하나만의 독립적 만델스탐 변수가 존재하며, 이는 [[신속도]]로 쓸 수 있다.

네 입자의 신속도를 각각 <math>\theta_1</math>, <math>\theta_2</math>, <math>\theta_3</math>, <math>\theta_4</math>로 쓰자. 그렇다면 각 입자의 2차원 운동량은
:<math>p_i=m_i(\cosh\theta_i,\sinh\theta_i)</math>
이다.

편의상 모든 입자의 질량이 <math>m_1=m_2=m_3=m_4=m</math>으로 놓고, [[로런츠 변환]]을 가해
:<math>\theta_1+\theta_2=0</math>
:<math>\theta_3+\theta_4=0</math>
으로 놓자. 그렇다면 운동량 보존에 따라서
:<math>\theta_1=-\theta_2=\pm\theta_3=\mp\theta_4</math>
임을 알 수 있다.
:<math>2\theta=\theta_1-\theta_2=\pm(\theta_3-\theta_4)</math>
로 놓자. 그렇다면
:<math>s=4m^2\cosh^2\theta</math>
:<math>t=-m^2(1\mp1)^2\sinh^2\theta</math>
:<math>u=-m^2(1\pm1)^2\sinh^2\theta</math>
이 된다 (복호 동순).

== 같이 보기 ==
* [[콤프턴 산란]]

== 각주 ==
{{각주}}

* {{서적 인용|author1=Halzen, Francis |author2=Martin, Alan | title=Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics |url=https://archive.org/details/quarksleptonsint0000halz | publisher=[[존 와일리 앤드 산즈|John Wiley & Sons]] | year=1984 | isbn=0-471-88741-2}}
* {{서적 인용| author=Perkins, Donald H. | title=Introduction to High Energy Physics |edition=4th | publisher=[[케임브리지 대학교 출판부|Cambridge University Press]] | year=2000 | isbn=0-521-62196-8 }}

{{전거 통제}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:입자물리학]]
[[분류:산란]]