마팅게일 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:HittingTimes1.png|섬네일|300px|오른쪽|변수가 어떤 상계에 이르면 멈추게 되는 1차원 [[브라운 운동]]은 마팅게일의 한 예이다. 이는 돈이 다 떨어지면 파산하게 되는 도박꾼을 나타내는 확률론적 모형이다.]]
[[확률론]]에서 '''마팅게일'''({{llang|en|martingale|마턴게일}}, {{llang|fr|martingale|마르탱갈}})은 [[확률 과정]]의 하나로, 과거의 모든 정보를 알고 있다면 미래의 [[기댓값]]이 현재 값과 동일한 과정이다.<ref>{{서적 인용|first=David |last=Williams|title=Probability with martingales|publisher= Cambridge University Press|날짜=1991| isbn =0-521-40605-6|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[전순서 집합]] <math>(T,\le)</math>
* [[여과 확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F_t,\Pr)_{t\in T}</math>
* [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^d</math>. 이는 [[보렐 가측 공간]]으로 가정한다. ([[르베그 시그마 대수]]가 아니다.)
그렇다면, <math>(\Omega,\mathcal F_t,\Pr)_{t\in T\cup\{\infty\}}</math> 위의 [[순응 확률 과정]] <math>(X_t\colon \Omega\to)_{t\in T}</math>이 만약 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''마팅게일'''이라고 한다.
* ([[기댓값]]의 존재) 임의의 <math>t\in T</math>에 대하여, <math>\operatorname E(\|X_t\|) < \infty</math>. 즉, <math>X_t \in \operatorname L^1(\Omega;\mathbb R^d)</math>이다.
* (마팅게일 성질) 임의의 <math>s,t\in T</math>에 대하여, 만약 <math>s\le t</math>라면, <math>\mathbb E(X_s | \mathcal F_s ) = \mathbb E(X_t | \mathcal F_s)\colon\mathcal F_s\to \mathbb R^d</math>이다. 즉, 임의의 <Math>A\in\Sigma_s</math>에 대하여, <math>\mathbb E(X_t|A) = \mathbb E(X_s|A)\in\mathbb R^d</math>이다. 여기서 <math>1_A\colon \Omega\to\mathbb R</math>는 <math>A</math>의 [[지시 함수]]이다.
** 물론, 이 정의에서 <Math>s = t</math>인 경우는 자명하게 참이다.
여기서 <math>\mathbb E(-|-)</math>는 [[조건부 기댓값]]을 뜻한다.

마팅게일의 정의의 둘째 조건은 다음과 같이 풀어 해석할 수 있다.
:현재 <math>s</math>까지의 정보(<math>A\in\mathcal F_s</math>)만을 알고 있다면, 미래 <math>t\ge s</math>에서의 <math>X</math>의 값 <math>X_t</math>의 기댓값 <math>\mathbb E(X_t|A)</math>은 현재의 기댓값 <math>\operatorname E(X_s|A)</math>과 같다.

=== 열마팅게일과 우마팅게일 ===
<math>d=1</math>이라고 하자. 마팅게일의 정의에서, 둘째 조건을 다음과 같이 대체할 경우, '''열마팅게일'''(劣martingale, {{llang|en|submartingale|서브마팅게일}})의 개념을 얻는다.
* (열마팅게일 조건) 임의의 <math>s,t\in T</math>에 대하여, 만약 <math>s\le t</math>라면, <math>\mathbb E(X_s | \mathcal F_s ) \le \mathbb E(X_t | \mathcal F_s)\colon\mathcal F_s\to \mathbb R^d</math>이다.
마찬가지로, 마팅게일의 정의에서, 둘째 조건을 다음과 같이 대체할 경우, '''우마팅게일'''(優martingale, {{llang|en|supermartingale|슈퍼마팅게일}})은 의 개념을 얻는다.
* (우마팅게일 조건) 임의의 <math>s,t\in T</math>에 대하여, 만약 <math>s\le t</math>라면, <math>\mathbb E(X_s | \mathcal F_s ) \ge \mathbb E(X_t | \mathcal F_s)\colon\mathcal F_s\to \mathbb R^d</math>이다.
만약 <math>(X_t)_{t\in\mathbb T}</math>가 열마팅게일이라면, <math>(-X_t)_{t\in T}</math>는 우마팅게일이며, 그 역도 마찬가지다. 열마팅게일이자 우마팅게일인 [[확률 과정]]은 마팅게일이다.

=== 이산 시간 마팅게일 ===
다음과 같은 특별한 경우를 생각하자.
* <math>(\Omega,\mathcal F_t,\Pr)</math>가 <Math>(Y_t\colon\Omega\to\mathbb R^d)_{t\in T}</math>의 [[자연 여과 확률 공간]]이다.
그렇다면, 마팅게일의 정의의 둘째 조건은 다음과 같이 나타내어진다.
* <math>\mathbb E(X_t|\{Y_r\}_{r\le s}) = \mathbb E(X_s|\{Y_r\}_{r\le s})</math>
특히, <math>X=Y</math>인 경우를 생각할 수 있다.

예를 들어, <math>T = \mathbb N=\{0,1,2,\dotsc\}</math> ([[자연수]] 집합)인 경우를 생각하자. 이는 이산 시간 [[확률 과정]]에 해당한다. 이 경우, <math>(X_t\colon\Omega\to\mathbb R^d)_{t\in\mathbb Z}</math>가 마팅게일이 될 조건은 다음과 같다.
* (기댓값의 존재) 임의의 <Math>t\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>\mathbb E(\|X_t\|) < \infty</math>
* (마팅게일 성질) <math>\mathbb E(X_{s+1} | X_0,X_1,\dotsc,X_s) = \operatorname E(X_s)</math>
이 조건은 <math>t=s+1</math>인 경우로, 일반적 정의보다 더 약한 것처럼 보이지만, 사실
:<math>\mathbb E(X_{s+2} | X_0,\dotsc,X_s) = \mathbb E(X_{s+2}|X_0,\dotsc,X_s,X_{s+1}) \restriction \mathcal F_s = \mathbb E(X_{s+1}|X_0,\dotsc,X_s,X_{s+1}) \restriction \mathcal F_s = \mathbb E(X_{s+1}|X_0,\dotsc,X_s) = \mathbb E(X_s)</math>
와 같이 [[수학적 귀납법]]으로 모든 <Math>t\ge s</math>에 대하여 성립함을 보일 수 있다. 여기서 <Math>\mathcal F_s</math>는 <Math>X</math>의 [[자연 여과 확률 공간]]이다.

== 예 ==
마팅게일의 대표적인 예로는 [[무작위 행보]]가 있다.

== 역사 ==
마팅게일({{llang|fr|martingale|마르탱갈}})이라는 단어는 [[프랑스]] 남부의 지명 [[마르티그]]에서 유래한다.<ref name="Mansuy"/> 마르탱갈은 18세기 프랑스에서 유행하였던 도박 전략의 하나를 일컫는 단어였다.<ref name="Mansuy">{{저널 인용|제목=Histoire de martingales | 저널=Mathématiques & Sciences Humaines / Mathematical Social Sciences | 권=169 | 날짜=2005 | doi=10.4000/msh.2945 | 이름=Roger |성= Mansuy |issn=0987-6936| 언어=fr}}</ref>{{rp|§2}} 이 전략은 한 판을 이겼을 때 얻는 금액과 한 판을 졌을 때 잃는 금액이 같고 이길 확률과 질 확률 역시 동일한 형태의 도박을 할 때 사용할 수 있는 전략으로, 졌을 때 다음 판에 이번 판의 두 배에 해당하는 판돈을 걸면 결국 언젠가 이기는 순간 첫 판의 판돈에 해당하는 금액이 최종 수익으로 남게 된다는 점에 착안하여 이에 상응하는 베팅 방식을 고수한다. 만약 도박을 하는 사람의 재산이 무한하다면 [[거의 확실하게]] 이기는 순간이 오기 때문에 언젠가는 돈을 딸 수 있지만, 실제로는 재산이 유한하기 때문에 돈을 따기 전에 가진 돈을 잃을 확률이 존재하게 된다. ‘마르탱갈’이라는 단어는 이 전략의 어리석음을 [[마르티그]] 지방 사람들의 ([[파리 (프랑스)|파리]] 사람들의 편견에 따르면) 어리숙하고 순진함에 빗댄 것이다.<ref name="Mansuy"/>{{rp|108, §4}}

[[폴 피에르 레비]]({{llang|fr|Paul Pierre Lévy}})가 처음으로 [[확률론]]에 이 마팅게일 전략을 도입하였으며, [[조지프 두브]] 역시 마팅게일의 이론적 발전에 크게 기여하였다. 확률론에 마팅게일이 도입된 이유 중의 하나는 마팅게일 전략으로 도박을 통해 수익을 얻는 것이 불가능하다는 것을 증명하고자 하는 데 있었다.

== 같이 보기 ==
* [[브라운 운동]]
* [[마르코프 연쇄]]
* [[마르코프 확률 과정]]
* [[정규수 (수론)]]
* [[준마팅게일]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Martingale|first=A.N.|last=Shiryaev }}
* {{매스월드|id=Martingale|title=Martingale}}
{{전거 통제}}

[[분류:게임 이론]]
[[분류:확률 과정]]