마슬로프 지표 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[심플렉틱 위상수학]]에서 '''마슬로프 지표'''(Маслов指標, {{llang|en|Maslov index}})는 [[심플렉틱 다양체]] 속의 [[라그랑주 부분 다양체]] 속의 [[폐곡선]]에 대응되는, 폐곡선이 감기는 수를 측정하는 정수이다. [[양자역학]]의 반고전적 근사법에서, 고전적 [[작용 (물리학)|작용]]의 보정항으로 등장한다.

== 정의 ==
<math>2n</math>차원 [[심플렉틱 벡터 공간]] <math>(V,\omega)</math>가 주어졌다고 하자. 그 속의 [[라그랑주 부분 공간]]들의 [[모듈라이 공간]]은 다음과 같다.
:<math>\operatorname U(n)/\operatorname O(n)</math>
이는 <math>n(n+1)/2</math>차원의 [[동차공간]]이며, 이를 '''라그랑주 그라스만 다양체'''({{llang|en|Lagrangian Grassmannian}})이라고 한다.

라그랑주 그라스만 다양체의 [[기본군]]은 [[무한 순환군]] <math>\mathbb Z</math>이다. 구체적으로, <math>\operatorname U(n)</math>의 기본군은 <math>\mathbb Z</math>이며, 이는 유니터리 행렬의 [[행렬식]]이 단위 복소수 <math>\det M\in\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}</math>임에서 기여한다. [[직교 행렬]]의 행렬식은 <math>\pm1</math>이므로, 라그랑주 그라스만 다양체의 기본군은 <math>2\mathbb Z\subset\pi_1(\operatorname U(n))=\mathbb Z</math>이다.

<math>2n</math>차원 [[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 접공간 <math>T_xM</math>에 대하여 라그랑주 그라스만 다양체를 취하면, 올이 <math>\operatorname U(n)/\operatorname O(n)</math>인 [[올다발]] <math>\Lambda M\twoheadrightarrow M</math>을 정의할 수 있다. 이를 '''라그랑주 그라스만 다발'''이라고 한다.

<math>M</math> 속의 [[라그랑주 부분 다양체]] <math>L\subset M</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>x\in L</math>에 대하여 라그랑주 그라스만 다발 <math>\Lambda M</math>으로 가는 [[다발 사상]]
:<math>L\to \Lambda M</math>
이 존재한다. 만약 <math>L</math>이 [[축약 가능 공간]]이라고 하면, <math>\Lambda M|_L</math>과 <math>\operatorname U(n)/\operatorname O(n)</math>은 서로 [[호모토피 동치]]이며, 자연스러운 [[군 동형]]
:<math>\pi_1(\operatorname U(n)/\operatorname O(n))\cong\pi_1(\Lambda M|_L)</math>
이 주어진다. 위 동형은 코호몰로지에 의한 [[당김]]
:<math>\mathbb Z\cong\langle a\rangle\cong H^1(\operatorname U(n)/\operatorname O(n))\cong H^1(\Lambda M|_L;\mathbb Z)\to H^1(L;\mathbb Z)</math>
이 존재한다. 이 경우, <math>H^1(\operatorname U(n)/\operatorname O(n))</math>의 생성원 <math>a</math>의 <math>H^1(L;\mathbb Z)</math>에서의 [[상 (수학)|상]]을 '''마슬로프 지표'''({{llang|en|Maslov index}}) <math>m\in H^1(L;\mathbb Z)</math>라고 한다. 폐곡선 또는 1차 호몰로지류 <math>[\gamma]\in H_1(M;\mathbb Z)</math>의 마슬로프 지표는 정수 <math>m([\gamma])\in\mathbb Z</math>이다.

== 역사 ==
빅토르 파블로비치 마슬로프({{llang|ru|Ви́ктор Па́влович Ма́слов}})가 [[WKB 근사]]를 다루기 위하여 도입하였다.<ref>{{서적 인용|이름=В. П.|성=Маслов|날짜=1965|제목= Теория возмущений и асимптотические методы|출판사=Издательство Московского государственного университета|언어=ru}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=В. П.|성=Маслов|날짜=1965|장=Метод ВКБ в многомерном случае|제목=Введение в метод фазовы хинтегралов|총서=Библиотека сборника  «Математика»|출판사=Издательство «Мир»|언어=ru}}</ref> 이후 [[블라디미르 아르놀트]]가 1967년에 이를 [[대수적 위상수학]]을 통해 설명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=В. И.|성=Арнольд|저자링크=블라디미르 아르놀트|제목=О характеристическом классе, входящем в условия квантования|url=http://mi.mathnet.ru/faa2802|저널=Функциональный анализ и его приложения|권=1|호=1|날짜=1967|쪽=1–14|언어=ru}} 영역 {{저널 인용|이름=V. I.|성=Arnol’d|저자링크=블라디미르 아르놀트|제목=Characteristic class entering in quantization conditions|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/arnold3.pdf|저널=Functional Analysis and Its Applications|날짜=1967-01|권=1|호=1|쪽=1-13|doi=10.1007/BF01075861|언어=en|확인날짜=2015-10-09|보존url=https://web.archive.org/web/20110611152512/http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/arnold3.pdf|보존날짜=2011-06-11|url-status=dead}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://math.berkeley.edu/~alanw/GofQ.pdf|제목=Lectures on the geometry of quantization|이름=Sean|성=Bates|이름2=Alan|성2=Weinstein|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/maslovnotes.pdf|제목=The Maslov index|이름=Teruji|성=Thomas|날짜=2009|언어=en|확인날짜=2015-10-09|보존url=https://web.archive.org/web/20160305034621/http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/maslovnotes.pdf|보존날짜=2016-03-05|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/maslov.htm|제목=The Maslov index|이름=Andrew|성=Ranicki|언어=en|확인날짜=2015-10-09|보존url=https://web.archive.org/web/20151201193450/http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/maslov.htm|보존날짜=2015-12-01|url-status=dead}}
* {{nlab|id=Maslov index}}

[[분류:심플렉틱 기하학]]
[[분류:양자역학]]