마르코프 연쇄 문서 원본 보기

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{{확률론}}
[[확률론]]에서 '''마르코프 연쇄'''(Марков 連鎖, {{llang|en|Markov chain}})는 이산 시간 [[확률 과정]]이다.

마르코프 연쇄는 시간에 따른 계의 상태의 변화를 나타낸다. 매 시간마다 계는 상태를 바꾸거나 같은 상태를 유지한다. 상태의 변화를 전이라 한다. [[마르코프 성질]]은 과거와 현재 상태가 주어졌을 때의 미래 상태의 [[조건부 확률]] 분포가 과거 상태와는 독립적으로 현재 상태에 의해서만 결정된다는 것을 뜻한다

== 정의 ==
[[확률 공간]] <math>\Omega</math>와, 모든 집합이 [[가측 집합]]인 [[가측 공간]] <math>E</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, '''메모리 ''k''의 마르코프 연쇄'''는 다음 성질을 만족시키는 일련의 [[확률 변수]] <math>X_1,X_2,\dots\colon\Omega\to E</math>이다.

만약 다음 식의 양변이 존재한다면,
::<math>\begin{align}
&\Pr(X_n = x_n | X_{n-1} = x_{n-1} , \ldots , X_1 = x_1 ) \\
=&\Pr(X_n = x_n | X_{n-1} = x_{n-1},\ldots,X_{n-K} = x_{n-K}).
\end{align}</math>
이 경우, <math>E</math>를 메모리 ''k''의 마르코프 연쇄 <math>\{X_i\}</math>의 '''상태 공간'''({{llang|en|state space}})이라고 한다. 만약 메모리가 주어져 있지 않는 '''마르코프 연쇄'''는 메모리가 1인 마르코프 연쇄이다.

(메모리가 1인) 마르코프 연쇄는 이는 메모리가 없는 과정을 나타낸다. 과거의 상태가 알려져 있더라도, 이는 미래 상태의 [[조건부 기댓값]]에 영향을 미치지 않는다. 이러한 성질을 '''마르코프 성질'''({{llang|en|Markov property}})이라고 한다.

다음 성질을 만족시키는 마르코프 연쇄 <math>X_i\colon\Omega\to E</math>를 '''시간 동질 마르코프 연쇄'''({{llang|en|time-homogeneous Markov chain}})라고 한다. 모든 <math>i\in\mathbb N</math>, <math>x,y\in E</math>에 대하여,
::<math>\Pr(X_{i+1} = x | X_i = y )=\Pr(X_i = x | X_{i-1} = y)</math>
다시 말해, 시간에 따라서 전이 확률은 변하지 않는다.

이와 유사하게, <math>i\in\mathbb N</math> 대신 실변수 <math>t\in\mathbb R</math>에 의존하는 경우도 정의할 수 있다. 이 경우를 '''연속 마르코프 과정'''({{llang|en|continuous Markov process}})이라고 한다.

== 예 ==
[[파일:Markovkate 01.svg|섬네일|오른쪽|유향 그래프로 나타낸 시간 동질 마르코프 연쇄의 예]]
상태 공간이 (모든 부분집합이 측도가능한) 유한 집합이라고 하자. 이 경우, 시간 동질 마르코프 연쇄는 각 변에 0과 1 사이의 실수가 붙어 있는 [[유향 그래프]]로 표현된다. 이 경우 그래프는 다음과 같이 해석된다.
* 각 꼭짓점은 상태공간의 원소에 대응된다.
* 상태 <math>x_1\in E</math>에서 다른 상태 <math>x_2\in E</math>로 가는 변은 정확히 하나가 있으며, 이 변에 붙어 있는 값은 <math>\Pr(X_{n+1}=x_2|X_n=x_1)</math>이다. 만약 이 확률이 0이라면 변을 생략할 수 있다.
이러한 그래프를 '''상태 다이어그램'''({{llang|en|state diagram}})이라고 한다.

== 역사 ==
[[러시아]]의 수학자 [[안드레이 마르코프]]가 1906년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Андрей Андреевич|성=Марков|저자링크=안드레이 마르코프|제목=Распростпаненіе закона большихъ чиселъ на величиы, забисящія другъ отъ друга|저널=Известия физико-математического общества при Императорском Казанском университете|권=15|호=4|쪽=135–156|날짜=1906|jfm=37.0265.01|url=http://www.jehps.net/Novembre2006/Markov3pdf.pdf|언어=ru}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[마르코프 결정 과정]]
* [[마르코프 네트워크]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Kishor S. |성=Trivedi|제목=Probability and Statistics with Reliability, Queueing, and Computer Science Applications|url=https://archive.org/details/probabilitystati0000unse_q2r6_no2 |출판사=John Wiley & Sons|날짜=2002|isbn=0-471-33341-7|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=G.|성=Bolch|이름2= S.Greiner, H.de Meer and K.S.Trivedi, ''Queueing Networks and Markov Chains|출판사=John Wiley|판=2|날짜= 2006|isbn=978-0-7923-9650-5|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=E.|성= Nummelin|제목=General irreducible Markov chains and non-negative operators|url=https://archive.org/details/generalirreducib0000numm|출판사= Cambridge University Press|날짜= 1984|isbn=0-521-60494-X|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* {{eom|title=Markov chain}}
* {{eom|title=Markov process}}
* {{eom|title=Markov chain, generalized}}
* {{eom|title=Markov chain, recurrent}}
* {{매스월드|id=MarkovChain|title=Markov chain}}
* {{매스월드|id=MarkovProcess|title=Markov process}}
* {{매스월드|id=MarkovSequence|title=Markov sequence}}

{{전거 통제}}

[[분류:확률 과정]]
[[분류:마르코프 모형]]
[[분류:마르코프 과정]]