마든 정리 문서 원본 보기

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[[파일:Marden theorem.svg|섬네일|삼각형과 그 [[슈타이너 내접 타원]]. 검은색 점은 3차 다항식 ''p''(''z'')의 영점, 빨간 점은 [[도함수]] ''p''&apos;(''z'')의 영점, 가운데 연두색 점은 [[이계 도함수]] ''p''&apos;&apos;(''z'')의 영점, 나머지 세 연두색 점은 삼각형의 변의 중점을 나타낸다. 마든 정리에 따르면, 빨간 점은 연두색 타원의 두 초점이다.]]

[[수학]]에서 '''마든 정리'''({{llang|en|Marden's theorem}})는 [[복소수]] 3차 [[다항식]]의 두 [[임계점]]이 세 [[영점]]이 이루는 [[삼각형]]에 세 변의 [[중점 (기하학)|중점]]에서 [[내접]]하는 [[타원]]의 [[초점 (기하학)|초점]]이라는 정리이다.

== 정의 ==
주어진 삼각형의 세 변의 중점을 지나는 내접 타원은 항상 유일하게 존재한다. 이를 삼각형의 '''[[슈타이너 내접 타원]]'''이라고 한다.

복소수 3차 다항식 <math>p(z)\in\mathbb C[z]</math>의 영점을 <math>a,b,c</math>, 임계점을 <math>f,f'</math>라고 하자. 또한, <math>a,b,c</math>가 공선점이 아니라고 하자. 그렇다면, <math>f,f'</math>는 <math>a,b,c</math>를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 슈타이너 내접 타원의 두 초점이다. 이를 '''마든 정리'''라고 한다.

== 증명 ==
편의상 <math>p(z)</math>가 [[일계수 다항식]]이며, <math>a+b+c=0</math>이라고 하자.<ref name="Badertscher">{{저널 인용
|성=Badertscher
|이름=Erich
|제목=A Simple Direct Proof of Marden’s Theorem
|언어=en
|저널=The American Mathematical Monthly
|권=121
|호=6
|쪽=547-548
|날짜=2014
|출판사=Taylor & Francis
|issn=0002-9890
|doi=10.4169/amer.math.monthly.121.06.547
|jstor=10.4169/amer.math.monthly.121.06.547
}}</ref> 그렇다면, <math>f+f'=0</math>이며, <math>p(z)</math>와 도함수 <math>p'(z)</math>는 다음과 같다.
:<math>p(z)=(z-a)(z-b)(z-c)</math>
:<math>p'(z)=3(z+f)(z-f)=(z-a)(z-b)+(2z-(a+b))(z-c)</math>
한 변의 중점 <math>z'=(a+b)/2</math>와 두 초점 <math>-f,f</math> 사이의 거리의 합
:<math>|z'+f|+|z'-f|</math>
을 생각하자. 이를 [[평행사변형 법칙]]을 사용하여 구하면 다음과 같다.
:{|
|<math>2(|z'+f|+|z'-f|)^2</math>
|<math>=2|z'+f|^2+2|z'-f|^2+4|(z'+f)(z'-f)|</math>
|-
|
|<math>=4|z'|^2+4|f|^2+\frac 13|a-b|^2</math>
|(평행사변형 법칙 및 <math>p'(z')=-((a-b)/2)^2</math>)
|-
|
|<math>=|a+b|^2+4|f|^2+\frac 13|a-b|^2</math>
|-
|
|<math>=\frac 23|a+b|^2+\frac 23(|a|^2+|b|^2)+4|f|^2</math>
|(평행사변형 법칙)
|-
|
|<math>=\frac 23(|a|^2+|b|^2+|c|^2)+4|f|^2</math>
|(<math>a+b=-c</math>)
|}
즉, 변의 중점과 <math>-f,f</math> 사이의 거리의 합은 변의 선택과 무관하다. 따라서, <math>-f,f</math>는 <math>a,b,c</math>를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 슈타이너 내접 타원의 초점이다.

== 역사 ==
이외르크 지베크({{llang|de|Jörg Siebeck}})가 증명하였다. 모리스 마든({{llang|en|Morris Marden}})의 이름을 따 명명되었다.

== 같이 보기 ==
* [[가우스-뤼카 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:삼각형에 대한 정리]]
[[분류:다항식에 대한 정리]]
[[분류:원뿔 곡선]]
[[분류:복소기하학 정리]]