립시츠 연속 함수 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''립시츠 연속 함수'''({{llang|en|Lipschitz-continuous function}})는 두 점 사이의 거리를 일정 비 이상으로 증가시키지 않는 [[함수]]이다. 이름은 독일의 수학자인 [[루돌프 립시츠]]의 이름을 땄다.

== 정의 ==
두 [[거리 공간]] <math>(X,d_X)</math>, <math>(Y,d_Y)</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 음이 아닌 실수 <math>K\ge0</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>f</math>가 '''<math>K</math>-립시츠 연속 함수'''라고 한다.
* 임의의 <math>x,x'\in X</math>에 대하여, <math>d_Y(f(x),f(x'))\le Kd_X(x,x')</math>
두 [[거리 공간]] <math>(X,d_X)</math>, <math>(Y,d_Y)</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 적어도 하나의 음이 아닌 실수 <math>K\ge0</math>에 대하여 <math>K</math>-립시츠 함수라면, <math>f</math>를 '''립시츠 연속 함수'''라고 한다.

== 성질 ==
립시츠 연속 함수 <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>는 다음 조건들을 만족시킨다.
* [[절대 연속 함수]]이다.
* [[거의 어디서나]] [[미분 가능 함수]]이다.
* 만약 <math>f</math>가 <math>K</math>-립시츠 함수라면, [[거의 어디서나]] <math>|f'|\le K</math>이다.

[[미분 가능 함수]] <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 립시츠 연속 함수이다.
* <math>\sup\{|f'(x)|\colon x\in\mathbb R\}<\infty</math>이다.

== 예 ==
함수 <math>\sqrt{}\colon[0,1]\to\mathbb R</math>은 [[균등 연속 함수]]이지만 립시츠 연속 함수가 아니다.

== 참고 문헌 ==
* Boris Hasselblatt, Anatole Katok (2003). ''A First Course in Dynamics: with a Panorama of Recent Developments'', 1 edition, Cambridge University Press

== 같이 보기 ==
* [[횔더 연속 함수]]

{{토막글|수학}}

[[분류:연속 함수]]
[[분류:실해석학]]
[[분류:동역학계]]