린델뢰프 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 넘어옴|모리타 정리|[[가군]] [[범주 (수학)|범주]]의 [[범주의 동치|동치]]에 대한 정리|모리타 동치}}
[[일반위상수학]]에서 '''린델뢰프 공간'''(Lindelöf空間, {{llang|en|Lindelöf space}})은 [[콤팩트 공간]]의 [[유한 집합|유한]] 부분 [[열린 덮개]] 조건을 [[가산 집합|가산]] 개의 부분 덮개 조건으로 약화시킨 조건을 만족시키는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
위상 공간 <math>X</math>의 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, <math>L(\mathcal U)</math>를 <math>\mathcal U</math>의 부분 덮개의 최소 [[집합의 크기|크기]]인 [[기수 (수학)|기수]]라고 하자.
:<math>L(\mathcal U)=\min_{\mathcal U'\subseteq\mathcal U}^{\bigcup\mathcal U'=X}|\mathcal U'|</math>
([[기수 (수학)|기수]] 위의 순서는 [[정렬 순서]]이므로 이 [[최솟값]]은 항상 존재한다.)
위상 공간 <math>X</math>의 '''린델뢰프 수'''(Lindelöf數, {{llang|en|Lindelöf number}}) <math>L(X)</math>는 모든 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U</math>에 대한 <math>L(\mathcal U)</math>의 [[상한]]이다.
:<math>L(X)=\sup_{\mathcal U\subseteq\mathcal T(X)}^{\bigcup\mathcal U=X}L(\mathcal U)</math>

린델뢰프 수가 <math>\aleph_0</math> 이하인 위상 공간을 '''린델뢰프 공간'''({{llang|en|Lindelöf space}})이라고 한다. 즉, 린델뢰프 공간은 모든 [[열린 덮개]]가 [[가산 집합|가산]] 부분 덮개를 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|192}}

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[콤팩트 공간]] ⊊ [[반콤팩트 공간]] ⊊ [[시그마 콤팩트 공간]] ⊊ 린델뢰프 공간
:[[제2 가산 공간]] ⊊ 린델뢰프 공간

이 밖에도, 린델뢰프성은 다른 위상 공간 성질과 다음과 같은 함의 관계를 갖는다.
* 린델뢰프 [[가산콤팩트 공간]]은 콤팩트 공간이다.
* ('''모리타 정리''' {{llang|en|Morita’s theorem}}) [[정칙 공간|정칙]] 린델뢰프 공간은 [[파라콤팩트 공간]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|257}}<ref name="Morita">{{저널 인용|이름=Kiiti|성=Morita|저자링크=모리타 기이치|제목= 
Star-finite coverings and the  star-finite property|저널=Mathematica Japonicae |권=1|날짜=1948|쪽=60-68|zbl=0041.09704|언어=en}}</ref>
* [[제1 가산 공간]]인 [[위상군]]이 린델뢰프 공간이면 [[제2 가산 공간]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|195}}
* [[거리화 가능 공간]]의 경우, 린델뢰프 공간, [[분해 가능 공간]], [[제2 가산 공간]]은 모두 동치인 개념이다.
* 린델뢰프 [[국소 콤팩트 공간]]은 [[반콤팩트 공간]]이다.

=== 린델뢰프성을 보존하는 연산 ===
* 린델뢰프 공간의 [[닫힌 집합]]은 린델뢰프 집합이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|194}}
* 린델뢰프 공간의 연속적 [[상 (수학)|상]]은 린델뢰프 공간이다. 즉, 린델뢰프 공간 <math>X</math>과 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math> 사이에 [[연속 함수]] <math>f\colon X \to Y</math>가 존재한다면, <math>f</math>의 [[치역]] <math>f(X)</math>는 린델뢰프 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|194}}
* 콤팩트 공간과 린델뢰프 공간의 곱공간은 린델뢰프 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|194}}
린델뢰프 공간에 대하여, [[티호노프 정리]]가 성립하지 않는다. 즉, 린델뢰프 공간들의 곱공간이 항상 린델뢰프 공간이 되는 것은 아니다.

== 예 ==
[[조르겐프라이 직선]]의 스스로에 대한 [[곱공간]]을 [[조르겐프라이 평면]]이라고 한다. 조르겐프라이 직선은 [[완전 정규 공간|완전 정규]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] 린델뢰프 [[파라콤팩트 공간]]이지만, 조르겐프라이 평면은 린델뢰프 공간이 아니다. 따라서 린델뢰프 공간에 대하여 [[티호노프 정리]]가 성립하지 않음을 알 수 있다.

== 역사 ==
[[핀란드]]의 [[수학자]] [[에른스트 레오나르드 린델뢰프]]({{llang|sv|Ernst Leonard Lindelöf}})가 도입하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|arxiv=1104.2796|제목=Set-theoretic problems concerning Lindelöf spaces|성=Tall|이름=Franklin D.|bibcode=2011arXiv1104.2796T|날짜=2011|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lindelöf space}}
* {{eom|title=Lindelöf number}}
* {{웹 인용|url=https://dantopology.wordpress.com/2014/02/28/weakly-lindelof-spaces/|제목=Weakly Lindelöf spaces|날짜=2014-02-28|웹사이트=Dan Ma’s Topology Blog|언어=en|확인날짜=2015-12-01|보존url=https://web.archive.org/web/20151208235057/https://dantopology.wordpress.com/2014/02/28/weakly-lindelof-spaces/|보존날짜=2015-12-08|url-status=dead}}

[[분류:위상 공간의 성질]]