리 초대수 표현 문서 원본 보기

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[[리 초대수]] 이론에서, 리 초대수의 '''표현'''(表現, {{llang|en|representation}})은 어떤 리 초대수의 원소들을 [[초행렬]]들로 나타내는 것이다.<ref name="FS"/>{{rp|§§32–40, §60}} 추상적으로, 이는 리 초대수에서, 어떤 [[초벡터 공간]] 위의 선형 초대수로 가는 리 초대수 [[준동형]]이다.

== 정의 ==
체 <math>K</math> 위의 유한 차원 [[초벡터 공간]] <math>V = V_0 \oplus V_1</math> 위의 '''선형 초대수'''({{llang|en|linear superalgebra}}) <math>\mathfrak{gl}(V;K)</math>를 생각하자. 이는 모든 [[초행렬]]
:<math>M \colon V \to V</math>
들로 구성되는 리 초대수이다. 그 보손 성분은
:<math>\mathfrak{gl}_0(V;K) = \mathfrak{gl}(V_0;K) \oplus \mathfrak{gl}(V_1;K)</math>
이며, 그 페르미온 성분은
:<math>\mathfrak{gl}_1(V;K) = V_0 \otimes_K V_1 \oplus V_1 \otimes_K V_0</math>
이다.

체 <math>K</math> 위의 [[리 초대수]] <math>\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1</math>의 '''표현'''은 어떤 초벡터 공간 <math>V</math> 위의 선형 초대수로 가는 <math>K</math>-[[리 초대수]] 준동형
:<math>\rho \colon \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)</math>
이다.<ref name="FS">{{저널 인용|제목=Dictionary on Lie superalgebras|이름=L.|성=Frappat|공저자=A. Sciarrino, P. Sorba|arxiv=hep-th/9607161|bibcode=1996hep.th....7161F|날짜=1996-07|언어=en}}</ref>{{rp|§32}}

즉, 구체적으로 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* [[리 대수의 표현]] <math>\rho_{00}\colon\mathfrak g_0 \to \mathfrak{gl}(V_0;K)</math>
* 리 대수의 표현 <math>\rho_{11}\colon\mathfrak g_0 \to \mathfrak{gl}(V_1;K)</math>
* <math>K</math>-[[선형 변환]] <math>\rho_{01}\colon\mathfrak g_1 \to V_0 \otimes V_1</math>
* <math>K</math>-선형 변환 <math>\rho_{10}\colon\mathfrak g_1 \to V_0 \otimes V_1</math>
이는 네 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* <math>\rho_{00}(\{X,Y\}) = \rho_{01}(X)\rho_{10}(Y) + \rho_{01}(Y)\rho_{10}(X)\qquad(X,Y\in\mathfrak g_1)</math>
* <math>\rho_{11}(\{X,Y\}) = \rho_{10}(X)\rho_{01}(Y) + \rho_{10}(Y)\rho_{01}(X)\qquad(X,Y\in\mathfrak g_1)</math>
* <math>\rho_{01}([X,Y]) = \rho_{00}(X)\rho_{01}(Y) - \rho_{01}(Y)\rho_{11}(X)\qquad(X\in\mathfrak g_0,\,Y\in\mathfrak g_1)</math>
* <math>\rho_{10}([X,Y]) = \rho_{11}(X)\rho_{10}(Y) - \rho_{10}(Y)\rho_{00}(X)\qquad(X\in\mathfrak g_0,\,Y\in\mathfrak g_1)</math>

(<math>X,Y\in\mathfrak g_0</math>인 경우는 [[리 대수의 표현]]의 정의에 포함된다.)

== 예 ==
임의의 리 초대수 <math>\mathfrak g</math> 및 [[초벡터 공간]] <math>V</math>에 대하여, 값이 0인 [[상수 함수]] <Math>\mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)</math>는 자명하게 리 초대수의 표현을 이룬다. 이를 '''자명한 표현'''({{llang|en|trivial representation}})이라고 한다.

모든 리 초대수 <math>\mathfrak g</math>는 스스로 위의 표현
:<math>\operatorname{ad}_{\mathfrak g}\colon\mathfrak g \to \mathfrak{gl}(\mathfrak g)</math>
:<math>\operatorname{ad}_{\mathfrak g}(X) = [X,-\}</math>
을 갖는다. 이를 <math>\mathfrak g</math>의 '''[[딸림표현]]'''이라고 한다.<ref name="FS"/>{{rp|§32}}

리 초대수 <math>\mathfrak g</math>에서, 만약 <math>\mathfrak g_1 = \{0\}</math>인 경우, <math>\mathfrak g</math>의, 초벡터 공간 <math>V=V_0\oplus V_1</math> 위의 표현은 단순히 <math>\mathfrak g_0</math>의 두 개의 (<math>V_0</math>과 <math>V_1</math> 위의) 표현에 불과하다.

== 같이 보기 ==
* [[등급 가군]]
* [[리 대수의 표현]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:표현론]]
[[분류:리 대수]]
[[분류:초대칭]]