리 준대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''리 준대수'''(Lie準代數, {{llang|en|Lie algebroid}})는 (유한 차원) [[실수 리 대수]]의 일반화이다.<ref>{{저널 인용|이름=Alan |성=Weinstein|제목= Groupoids: unifying internal and external symmetry|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=43|날짜=1996|쪽=744–752|arxiv=math/9602220|url=https://www.ams.org/notices/199607/weinstein.pdf|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Kirill |성=Mackenzie|제목=Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry|url=https://archive.org/details/liegroupoidsliea0000mack |출판사= Cambridge University Press|날짜= 1987|doi=10.1017/CBO9780511661839|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Kirill |성=Mackenzie|제목=General theory of Lie groupoids and Lie algebroids|출판사= Cambridge University Press|날짜= 2005|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Charles-Michel |성=Marle|제목=Differential calculus on a Lie algebroid and Poisson manifolds|날짜=2002|arxiv=0804.2451|언어=en}}</ref> 리 대수와 리 준대수 사이의 관계는 [[리 군]]과 [[리 준군]] 사이의 관계와 같다.

== 정의 ==
'''리 준대수'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>
* [[매끄러운 단면]] <math>\Gamma^\infty(E)</math> 위의 [[리 대수]] 구조 <math>[-,-]</math>
* [[매끄러운 벡터 다발]] 사상 <math>\rho\colon E\to\mathrm TM</math>. 이를 '''닻'''({{llang|en|anchor}})이라고 한다.
이는 다음 호환 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>[s,ft] = (\nabla_{\rho(s)}f)t + f[s,t]\qquad\forall s,t\in\Gamma^\infty(E),\;f\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math>

== 예 ==
모든 유한 차원 [[실수 리 대수]]는 [[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math> 위의 리 준대수이다.

[[매끄러운 주다발]]에는 '''[[아티야 리 준대수]]'''라는 표준적인 리 준대수가 대응된다.

=== 벡터장 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에서,
:<math>E=\mathrm TM</math>
:<math>\rho = \operatorname{id}_{\mathrm TM}</math> ([[항등 함수]])
:<math>[X,Y] = \mathcal L_XY</math> ([[리 미분]])
를 부여하면, 이는 리 준대수를 이룬다.

보다 일반적으로, <math>\mathrm TM</math>의 적분 가능 부분 다발 (즉, <math>[E,E]\subseteq E</math>인 부분 벡터 다발 <Math>E \subseteq \mathrm TM</math>)은 이 리 준대수의 부분 리 준대수를 이룬다.

=== 아벨 리 준대수 ===
임의의 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 임의의 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E \twoheadrightarrow M</math>에 대하여
:<math>\rho = 0</math>
:<math>[-,-] = 0</math>
을 부여한다면, 이는 (자명하게) 리 준대수를 이룬다. 이는 [[아벨 리 대수]]의 일반화이다.

=== 푸아송 다양체 ===
{{본문|푸아송 다양체}}
[[푸아송 다양체]] <math>(M,\{-,-\})</math>가 주어졌다고 하자. 정의에 따라, 항상
:<math>\{f,g\}=\pi(\mathrm df,\mathrm dg)</math>
인 (2,0)차 반대칭 텐서 <math>\pi</math>를 정의할 수 있다. 이제,
:<math>E=\mathrm T^*M</math>
:<math>\rho(\alpha) = \pi(\alpha,-)\qquad(\alpha\in\Omega^1(M))</math>
:<math>[\alpha,\beta] = \mathcal L_{\rho\alpha}\beta - \mathcal L_{\rho\beta}\alpha - \mathrm d(\pi(\alpha,\beta))\qquad(\alpha,\beta\in\Omega^1(M))</math>
로 놓으면, 이는 리 준대수를 이룬다.

이를 '''푸아송 리 준대수'''({{llang|en|Poisson Lie algebroid}})라고 한다.

== 역사 ==
리 준대수의 개념은 1967년에 장 프라딘({{llang|fr|Jean Pradines}})이 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Jean|성= Pradines|제목=Théorie de Lie pour les groupoïdes différentiables. Calcul différentiel dans la catégorie des groupoïdes infinitésimaux|저널=Comptes Rendus de l’Académie des sciences. Série A|권= 264 |날짜=1967|쪽= 245–248 |mr=216409|zbl= 0154.21704|언어=fr}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lie algebroid}}
* {{매스월드|id=LieAlgebroid|title=Lie algebroid}}
* {{nlab|id=Lie algebroid}}
* {{nlab|id=tangent Lie algebroid|title=Tangent Lie algebroid}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:미분 연산자]]
[[분류:미분위상수학]]
[[분류:미분의 일반화]]
[[분류:벡터 다발]]