리 준군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서, '''리 준군'''(Lie準群, {{llang|en|Lie groupoid}})은 대상과 사상의 공간이 각각 [[매끄러운 다양체]]를 이루는 [[준군]]이다. (이산) 준군과 [[리 군]]의 공통적인 일반화이다.

== 정의 ==
'''리 준군'''은 [[매끄러운 다양체]]의 범주 속의 준군 대상이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[매끄러운 다양체]] <math>X_0</math>, <math>X_1</math>
* [[매끄러운 함수]] <math>\operatorname{dom}\colon X_1\to X_0</math>, <math>\operatorname{codom}\colon X_1\to X_0</math>. 이들은 사상의 [[정의역]]과 [[공역]]을 나타낸다.
* 사상의 합성 <math>\{(f,g)\in X_1\times X_1\colon \operatorname{codom}f = \operatorname{dom} g\}\to X_1</math>
* 매끄러운 함수 <math>\operatorname{id}\colon X_0\to X_1</math>. 이는 [[항등 사상]]을 나타낸다.
이 데이터는 준군의 공리들을 만족시켜야 한다.

마찬가지로, '''리 2-준군'''({{llang|en|Lie 2-groupoid}}), '''리 3-준군'''({{llang|en|Lie 3-groupoid}}) 등등을 정의할 수 있다. 예를 들어, 리 2-준군은 [[2-범주]] 가운데, 모든 1-사상과 2-사상이 가역원을 가지며, 또한 0-사상, 1-사상, 2-사상들이 각각 [[매끄러운 다양체]] <math>X_0</math>, <math>X_1</math>, <math>X_2</math>를 이루며, 정의에 등장하는 모든 사상들이 [[매끄러운 함수]]가 되는 경우이다.

== 예 ==
=== 분류 공간 ===
{{본문|분류 공간}}
[[리 군]] <math>G</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 하나의 대상만을 갖는 자명한 준군으로 여길 수 있으며, 이는 리 준군을 이룬다. 이를 <math>G</math>와 구별하기 위하여 <math>\operatorname B(G)</math>로 쓴다. (이에 대응하는 [[슈발레-에일렌베르크 대수]]를 [[설리번 대수]]로 여기면, 이에 대응하는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]은 <math>G</math>의 [[분류 공간]]이다.)

만약 <math>G</math>가 [[아벨 군|아벨]] 리 군일 때는, 마찬가지로 <math>\operatorname B^2(G)=\operatorname B(\operatorname B(G))</math>, <math>\operatorname B^3(G) = \operatorname B(\operatorname B(\operatorname B(G)))</math> 등등을 정의할 수 있다. 즉, <math>\operatorname B^k(G)</math>는 하나의 0-사상, 1-사상, ……, 하나의 <math>k-2</math>-사상을 가지며, 그 <math>(k-1)</math>-사상의 [[매끄러운 다양체]]는 <math>G</math>이다.

만약 <math>G</math>가 [[아벨 군]]이 아니라면, 고차에서의 구성에서, 수평 합성이 수직 합성과 아래와 같이 가환해야 한다는 조건이 성립하지 못한다.
{| cellpadding=2 align=center
 |- valign=center
 | [[파일:2-category horizontal composition upper.svg|240px]]
 | rowspan=3 style="font-size:large" |&nbsp;=&nbsp;
 | rowspan=3 |[[파일:2-category double composition.svg|240px]]
 | rowspan=3 style="font-size:large" |&nbsp;=&nbsp;
 | rowspan=3 |[[파일:2-category vertical composition.svg|132px]]
 | rowspan=3 style="font-size:large" |<math>\circ_0</math>
 | rowspan=3 |[[파일:2-category vertical composition.svg|132px]]
 |-
 | align=center style="font-size:large" |<math>\circ_1</math>
 |-
 | [[파일:2-category horizontal composition lower.svg|240px]]
 |}

=== 체흐 준군 ===
매끄러운 다양체 <math>X</math>의 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U=(U_i)_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\mathcal U</math>의 '''체흐 준군'''({{llang|en|Čech groupoid}}) <math>\operatorname{\check C}(\mathcal U)</math>은 다음과 같은 리 준군이다.
*  <math>\operatorname{\check C}(\mathcal U)</math>의 대상들의 [[매끄러운 다양체]]는 <math>\textstyle\bigsqcup_{i\in I}U_i</math>이다. 즉, 그 대상은 <math>x\in U_i</math>가 되는 [[순서쌍]] <math>(x,U_i)</math>이다.
* <math>\operatorname{\check C}(\mathcal U)</math>의 사상들의 매끄러운 다양체는 <math>\textstyle\bigsqcup_{i,j\in I}U_i\cap U_j</math>이다. 즉, 사상 <math>(x,U_i)\to (x,U_j)</math>은 순서쌍 <math>(x,U_i,U_j)</math>이다.
* 두 사상의 합성은 단순히 <math>(x,U_j,U_k)\circ(x,U_i,U_j) = (x,U_i,U_k)</math>이다.
* [[항등 사상]]은 단순히 <math>(x,U_i,U_i)</math>의 꼴의 사상이다.

그렇다면, 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]가 존재한다.
:<math>\operatorname{\check C}(\mathcal U) \to X</math>
:<math>(x,U_i) \mapsto x</math>
:<math>(x,U_i,U_j) \mapsto \operatorname{id}_x</math>
(이 함자의 [[공역]]은 모든 사상이 [[항등 사상]]인 자명한 리 준군이다.)

보다 일반적으로, 임의의 양의 정수 <math>n</math>에 대하여, 체흐 <math>n</math>-준군을 정의할 수 있다. 이 경우, <math>k</math>-사상의 매끄러운 다양체는
:<math>\bigsqcup_{i_1,\dotsc,i_k\in I}U_{i_1}\cap\dotsb\cap U_{i_k}</math>
이다.

=== 순서쌍 리 군 ===
임의의 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>에 대하여, 다음과 같은 '''순서쌍 리 준군'''({{llang|en|pair Lie groupoid}})을 정의할 수 있다.
* 그 대상(0-사상)의 매끄러운 다양체는 <math>M</math>이다.
* 1-사상의 매끄러운 다양체는 <math>M\times M</math>이다.
* 1-사상 <math>(x,y)</math>, <math>(y,z)</math>의 합성은 <math>(x,z)</math>이다.
이에 대응하는 [[리 준대수]]는 <math>M</math> 위의 [[벡터장]]들의 [[리 준대수]] <math>\mathrm TM</math>이다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|성=Weinstein|이름=Alan|제목=Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=43|호=7|날짜=1996-07|쪽=744–752|url=http://www.ams.org/notices/199607/weinstein.pdf|arxiv=math/9602220}} 재출판 {{서적 인용|성=Weinstein|이름=Alan|장=Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples|제목=Groupoids in Analysis, Geometry, and Physics|연도=2001|isbn=978-0-8218-2042-1|doi=10.1090/conm/282/04675|url=http://www.ams.org/books/conm/282/4675/conm4675.pdf|출판사=American Mathematical Society|쪽=1–19}}{{깨진 링크|url=http://www.ams.org/books/conm/282/4675/conm4675.pdf }}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=LieGroupoid|title=Lie groupoid}}
* {{nlab|id=Lie groupoid}}

{{전거 통제}}

[[분류:대칭]]
[[분류:리 군]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:범주론]]