리 미분 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''리 미분'''(Lie微分, {{llang|en|Lie derivative}})은 [[매끄러운 다양체]] 위에서 [[아핀 접속]] 없이 정의될 수 있는, 텐서장의 미분 연산이다.<ref>{{서적 인용|성=Yano|이름=Kentaro|날짜=1957|제목=The theory of Lie derivatives and its applications|출판사=North-Holland|isbn=978-0-7204-2104-0|url=https://archive.org/details/theoryofliederiv029601mbp|총서=Bibliotheca Mathematica|권=3|언어=en}}
</ref> 기호는 <math>\mathcal L</math>. 

함수, 텐서장, 형식은 벡터장와 관련하여 구별될 수 있다. <math>T</math>가 텐서장이고 <math>X</math>가 벡터장인 경우 <math>X</math>에 대한 <math>T</math>의 리 미분은 <math> \mathcal{L}_X T</math>과 같이 표시된다. [[미분 연산자]] <math> T \mapsto \mathcal{L}_X T</math>는 기본 다양체의 텐서장 대수의 [[미분 리 대수|미분]]이다.

리 미분은 축약과 [[미분 형식]]에 대한 외미분과 교환한다.

미분 기하학에서 미분을 취하는 많은 개념이 있지만 미분 되는 표현이 함수 또는 [[스칼라장]]일 때 모두 같다. 따라서 이 경우 "리"이라는 단어는 삭제되고 단순히 함수의 미분에 대해 말한다.

다른 벡터장 ''<math>X</math>''에 대한 벡터장 ''<math>Y</math>''의 리 미분은 ''<math>X</math>''와 ''<math>Y</math>''의 "리괄호"로 알려져 있으며 종종 <math> \mathcal{L}_X Y</math> 대신 ''<math>[X,Y]</math>''로 표시된다. 벡터장의 공간은 이 [[리 괄호]]와 관련하여 [[리 대수]]를 형성한다. 리 미분은 항등식으로 인해 이 리 대수의 무한 차원 [[리 대수의 표현|리 대수 표현]]을 구성한다.

: <math> \mathcal{L}_{[X,Y]} T = \mathcal{L}_X \mathcal{L}_{Y} T - \mathcal{L}_Y \mathcal{L}_X T</math>

이는 모든 벡터장 <math>X</math>, ''<math>Y</math>''와 모든 텐서장 <math>T</math>에 유효하다.

벡터장를 ''<math>M</math>''에서 흐름의 [[리 대수|무한소 생성원]]들 (즉, 1차원 미분동형사상 [[군 (수학)|군]])으로 고려할 때, 리 미분은 [[군의 표현|군 표현]]과 관련된 [[리 대수의 표현|무한소 표현]]으로서의 [[리 대수 표현]]과 비슷하게 텐서장에서 미분동형사상 군 표현의 미분이다. [[리 군|리 군론]].

스피너 장, 접속이 있는 [[올다발]]과 벡터 값 [[미분 형식]]에 대한 일반화가 존재한다.

== 도입 ==
[[벡터장]]에 대한 텐서장의 미분을 정의하려는 '순진한' 시도는 각 점에서 벡터장에 대한 텐서장의 성분 함수의 방향 도함수를 취하는 것이다. 그러나 이 정의는 [[다양체|좌표 조각]]의 선택에 따라 달라지기 때문에 바람직하지 않다. 예를 들어 [[극좌표계|극좌표]] 또는 [[구면좌표계|구면 좌표]]로 표현된 순진한 도함수는 [[데카르트 좌표계|데카르트 좌표]]의 구성 요소의 순진한 도함수와 다르다. 추상적 [[다양체]]에서 그러한 정의는 무의미하고 잘못 정의된다. [[미분기하학]]에는 텐서장의 미분에 대한 세 가지 주요한 좌표 독립 개념이 있다: 리 미분, 접속에 의한 미분 그리고 완전 반대칭 공변 텐서, 즉, [[미분 형식]]의 외미분. 리 미분과 달리 접속에 의한 미분은 [[접공간|접벡터]]에 대한 텐서장의 미분이 해당 접벡터를 벡터장으로 확장하는 방법이 지정되지 않은 경우에도 잘 정의된다는 것이다. 그러나 다양체에서 접속이라는 기하학적 구조를 추가로 선택해야 한다. 이에 반해 리 미분을 취하는 경우에는 다양체에 추가적인 구조가 필요하지 않다. 하지만, 접벡터 하나에 대한 텐서장의 리 미분에 대해 말하는 것이 불가능하다. 왜냐하면, ''<math>p</math>''에서 벡터장 ''<math>X</math>''에 대한 텐서장의 리 도함수의 값은 ''<math>p</math>''의 근방에 있는 ''<math>X</math>''의 값에 의존하기 때문이다. 마지막으로, 미분 형식의 외미분은 추가 선택이 필요하지 않으며 잘 정의된 미분 형식(함수 포함)의 미분일 뿐이다.

== 정의 ==
리 미분은 임의의 텐서장 <math>T\in\Gamma\left((\mathrm TM)^{\otimes p}\otimes(\mathrm T^*M)^{\otimes q}\right)</math>을, 임의의 [[벡터장]] 방향으로 미분하는 연산이다. 이는 추상적으로 일련의 공리들을 통해 정의될 수 있으며, 또 대신 구체적으로 국소 좌표계를 통해 정의될 수도 있다.

=== 공리적 정의 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에 매끄러운 [[벡터장]] <math>X\in\Gamma(\mathrm TM)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>X</math>방향으로의 '''리 미분'''
:<math>\mathcal L\colon
\Gamma(\mathrm TM)\otimes_{\mathbb R}
\Gamma\left((\mathrm TM)^{\otimes p}\otimes_{\mathbb R}(\mathrm T^*M)^{\otimes q}\right)
\to\Gamma\left((\mathrm TM)^{\otimes p}\otimes_{\mathbb R}(\mathrm T^*M)^{\otimes q}\right)
</math>
:<math>\mathcal L\colon X\otimes T\mapsto\mathcal L_XT</math>
은 임의의 매끄러운 <math>(p,q)</math>차 텐서장 <math>T</math>에 대하여 작용하여 매끄러운 <math>(p,q)</math>차 텐서장 <math>\mathcal L_XT</math>를 만드는 [[선형 변환]]이며, 다음 공리들을 만족시키는 유일한 연산이다.
* (함수의 리 미분) 함수((0,0)차 텐서) <math>f\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>에 대하여, 리 미분은 벡터장의 1차 미분 연산자로의 작용과 같다.
*:<math>\mathcal L_Xf=Xf</math>
* (함수 외미분과의 호환) 함수 <math>f</math>에 대하여, 리 미분은 [[외미분]]과 가환한다.
*:<math>\mathcal L_X(\mathrm df)=\mathrm d(\mathcal L_Xf)</math>
* ([[텐서곱]]과의 호환) 리 미분은 [[텐서곱]]에 대하여 [[곱 규칙]]을 따른다.
*:<math>\mathcal L_X(T_1\otimes T_2)=(\mathcal L_XT_1)\otimes T_2+T_1\otimes(\mathcal L_XT_2)</math>
* (축약과의 호환) 리 미분은 축약에 대하여 [[곱 규칙]]을 따른다. 즉, 임의의 벡터장 <math>Y</math>와 <math>(p,q)</math>차 텐서장 <math>T</math>에 대하여 (<math>q>0</math>),
*:<math>\mathcal L_X(T(Y,-))=(\mathcal L_XT)(Y,-)+T(\mathcal L_XY,-)</math>

=== 좌표 표현 ===
[[아인슈타인 표기법]]을 사용하자. 국소 좌표계 <math>x^\mu</math>를 잡았을 때, 벡터 <math>X=X^\mu\partial_\mu</math> 방향의, <math>(p,q)</math>차 텐서 <math>T^{\mu_1\mu_2\cdots\mu_p}_{\nu_1\nu_2\dots\nu_q}</math>의 '''리 미분'''은 다음과 같다.
:<math>\mathcal L_XT^{\mu_1\cdots\mu_p}_{\nu_1\dots\nu_q}=X^\rho\partial_\rho T^{\mu_1\cdots\mu_p}_{\nu_1\dots\nu_q}-(\partial_\rho X^{\mu_1})T^{\rho\mu_2\cdots\mu_p}_{\nu_1\dots\nu_q}
-\cdots-(\partial_\rho X^{\mu_p})T^{\mu_1\cdots\mu_{p-1}\rho}_{\nu_1\dots\nu_q}
+(\partial_{\nu_1}X^\rho)T^{\mu_1\cdots\mu_p}_{\rho\nu_2\dots\nu_q}
+\cdots+(\partial_{\nu_q}X^\rho)T^{\mu_1\cdots\mu_p}_{\nu_1\dots\nu_{q-1}\rho}
</math>
또한, [[비틀림 (미분기하학)|비틀림]]이 없는 [[아핀 접속]] <math>\nabla</math>의 경우, 위의 편미분을 [[공변 미분]]으로 치환하여도 상관없다. 리 미분은 [[아핀 접속]]에 의존하지 않는다.
:<math>\mathcal L_XT^{\mu_1\cdots\mu_p}_{\nu_1\dots\nu_q}=X^\rho\nabla_\rho T^{\mu_1\cdots\mu_p}_{\nu_1\dots\nu_q}-(\nabla_\rho X^{\mu_1})T^{\rho\mu_2\cdots\mu_p}_{\nu_1\dots\nu_q}
-\cdots-(\nabla_\rho X^{\mu_p})T^{\mu_1\cdots\mu_{p-1}\rho}_{\nu_1\dots\nu_q}
+(\nabla_{\nu_1}X^\rho)T^{\mu_1\cdots\mu_p}_{\rho\nu_2\dots\nu_q}
+\cdots+(\nabla_{\nu_q}X^\rho)T^{\mu_1\cdots\mu_p}_{\nu_1\dots\nu_{q-1}\rho}
</math>

=== 스피너장의 리 미분 ===
[[스핀 구조]]를 갖는 [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>가 주어졌다고 하자. 그 위의 [[스피너 다발]] <math>\mathrm SM</math>은 복소수 <math>2^{\lfloor \dim M/2\rfloor}</math>차원의 [[벡터 다발]]이다.
그렇다면, 스피너장 <math>\psi\in\Gamma(\mathrm SM)</math>의 '''리 미분'''은 다음과 같다.
:<math>\mathcal L_X\psi=\nabla_X\psi-\frac14(\mathrm dX^\flat)\cdot\psi</math>
여기서
* <math>X^\flat=g(X,-)</math>는 벡터장(=(1,0)차 텐서장) <math>X</math>에 대응하는 [[1차 미분 형식]](=(0,1)차 텐서장)이다.
* <math>\mathrm d</math>는 [[1차 미분 형식]]의 [[외미분]]이다.
* <math>\cdot</math>은 [[클리퍼드 대수]]의 곱이다.
국소 좌표계로 표기하면 이는 다음과 같다.
:<math>(\mathcal L_X\psi)^i = X^\mu\nabla_\mu\psi^i - \frac1{16} \left(\nabla_\mu X_\nu - \nabla_\nu X_\mu\right) \left(\gamma^{\mu i}{}_j\gamma^{\nu j}{}_k-\gamma^{\nu i}{}_j\gamma^{\mu j}{}_k\right)\psi^k</math>
여기서
* <math>\mu,\nu\in\{1,\dots,\dim M\}</math>는 [[접다발]] <math>\mathrm TM</math>의 지표이다.
* <math>i,j,k\in\{1,\dots,2^{\lfloor\dim M/2\rfloor}\}</math>는 [[스피너 다발]] <math>\mathrm SM</math>의 (복소수 성분) 지표이다.
* <math>\gamma^{\mu i}{}_j</math>는 [[디랙 행렬]]이다.
스피너장의 리 미분은 리만 다양체의 리만 계량에 의존하지 않는다.

만약 <math>X</math>가 [[킬링 벡터장]]이라면 (즉, <math>\nabla_\mu X_\nu = -\nabla_\nu X_\mu</math>), 이는 다음과 같이 더 간단해진다.
:<math>(\mathcal L_X\psi)^i = X^\mu\nabla_\mu\psi^i - \frac14(\nabla_\mu X_\nu)\gamma^{\mu i}{}_j\gamma^{\nu j}{}_k\psi^k</math>

== 일반화 리 미분 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>B</math>와 <math>E</math> 및 그 [[접다발]] <math>\pi_{\mathrm TB}\colon\mathrm TB\twoheadrightarrow B</math>, <math>\pi_{\mathrm TE}\colon \mathrm TE\twoheadrightarrow E</math>
* [[매끄러운 함수]] <math>s\colon B\to E</math>
* <math>B</math> 위의 [[벡터장]] <math>X\in\Gamma(\mathrm TB)</math>
* <math>E</math> 위의 [[벡터장]] <math>Y\in\Gamma(\mathrm TE)</math>

그렇다면, <math>s</math>의, <math>(X,Y)</math> 방향의 '''일반화 리 미분'''은 다음과 같은 [[매끄러운 함수]]이다.<ref name="KMS">{{서적 인용|last1=Kolář|first1=Ivan|last2=Michor|first2=Peter|last3=Slovák|first3=Jan|url=http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf|title=Natural operations in differential geometry|날짜=1993|publisher=Springer-Verlag|doi=10.1007/978-3-662-02950-3|isbn=978-3-540-56235-1|zbl=0782.53013|언어=en|확인날짜=2016-12-20|보존url=https://web.archive.org/web/20170330154524/http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf|보존날짜=2017-03-30|url-status=dead}}</ref>{{rp|377, §47.4}}
:<math>\tilde{\mathcal L}_{X,Y}f\colon B\to \mathrm TE</math>
:<math>\tilde{\mathcal L}_{X,Y}f=\mathrm Tf\circ X-Y\circ f</math>
이는 다음 조건을 만족시킨다.
:<math>\tilde{\mathcal L}_{tX,tY}s=t\tilde{\mathcal L}_{X,Y}s\qquad\forall t\in\mathbb R</math>
:<math>\pi_{\mathrm TE}\circ\mathcal L_{X,Y}s=s</math>
즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.
:<math>\begin{matrix}
B&\xrightarrow{\tilde{\mathcal L}_{X,Y}s}&\mathrm TE\\
&{_{\!\!\!\!s}}\!\!\searrow\!\!{\color{White}\scriptstyle s\!\!\!\!}&{\scriptstyle\color{White}{\pi_{\mathrm TE}\!\!\!\!\!\!}}\downarrow\scriptstyle\pi_{\mathrm TE}\!\!\!\!\!\!\\
&&E
\end{matrix}</math>

만약 <math>X</math>와 <math>Y</math>의 흐름이 각각
:<math>\phi_X\colon (-\epsilon,\epsilon)\times B\to B</math>
:<math>\phi_X\colon(t,b)\mapsto\phi_{X,t}(b)</math>
:<math>\phi_Y\colon (-\epsilon,\epsilon)\times E\to E</math>
:<math>\phi_Y\colon(t,e)\mapsto\phi_{Y,t}(e)</math>
라면, 다음이 성립한다.<ref name="KMS"/>{{rp|377, §47.4}}
:<math>\mathcal L_{X,Y}s=\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_{Y,-t}\circ s\circ\phi_{X,t})\right|_{t=0}</math>

=== 올다발의 경우 ===
특히, [[올다발]] <math>\pi_E\colon E\twoheadrightarrow B</math>가 주어졌으며, <math>B</math>와 <math>E</math>가 둘 다 [[매끄러운 다양체]]이며, <math>\pi_E</math>는 [[매끄러운 함수]]이며, 그 모든 올들이 서로 [[미분 동형]]인 [[매끄러운 다양체]]라고 하자. 또한, 그 [[단면 (올다발)|단면]] <math>s\in\Gamma_B(E)</math>이 주어졌다고 하자.

또한, 벡터장 <math>X\in\Gamma_B(\mathrm TB)</math>와 <math>Y\in\Gamma_E(\mathrm TE)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리 미분
:<math>\mathcal L_{X,Y}s\colon B\to\mathrm TE</math>
를 정의할 수 있으며, 이는 올다발 <math>\pi_E\circ\pi_{\mathrm TE}\colon \mathrm TE\to B</math>의 단면이다.

추가로, 만약 다음이 성립한다고 하자.
:<math>\mathrm T\pi_E\circ Y=X\circ \pi_E</math>
즉, 다음 가환 그림이 성립한다고 하자.
:<math>\begin{matrix}
E&\xrightarrow{\pi_E}&B\\
{\scriptstyle Y}\downarrow{\scriptstyle\color{White}Y}&&{\scriptstyle\color{White}X}\downarrow\scriptstyle X\\
\mathrm TE&\xrightarrow[\mathrm T\pi_E]{}&\mathrm TB
\end{matrix}</math>
이 조건이 성립하는 벡터장 <math>Y</math>를 '''사영 가능 벡터장'''({{llang|en|projectable vector field}})이라고 한다.<ref name="GM">{{저널 인용|arxiv=math/0201235|제목=Reductive ''G''-structures and Lie derivatives|이름=Marco|성=Godina|이름2=Paolo|성2=Matteucci|doi=10.1016/S0393-0440(02)00174-2|저널=Journal of Geometry and Physics|권=47|날짜=2003|쪽=66–86|bibcode=2003JGP....47...66G|zbl=1035.53035|언어=en}}</ref>{{rp|§2}} 이러한 <math>Y</math>가 주어지면 <math>X</math>는
:<math>X^i|_{\pi(e)}=(\mathrm T\pi)_I^i|_{e,\pi(e)}Y^I|_e\qquad(e\in E)</math>
로 재구성할 수 있다. 따라서, 이 경우 <math>\mathcal L_{X,Y}</math>를 <math>\mathcal L_Y</math>로 표기할 수 있다.

그렇다면, <math>\tilde{\mathcal L}_Ys</math>는 사실 [[수직 벡터 다발]] <math>\mathrm VE\subseteq\mathrm TE</math>에 속함을 보일 수 있다.
:<math>\tilde{\mathcal L}_Ys\colon B\to \mathrm VE</math>

=== 벡터 다발의 경우 ===
특히, 위 경우에서 <math>\pi_E\colon E\twoheadrightarrow B</math>가 [[벡터 다발]]이라고 하자. 그렇다면, 그 [[수직 벡터 다발]]은
:<math>\mathrm VE=E\times_BE</math>
이며, 이 경우
:<math>\tilde{\mathcal L}_Ys=(s,\mathcal L_Ys)</math>
의 꼴이다. 이 경우, <math>\mathcal L_Ys\colon B\to E</math>는 <math>E</math>의 단면이며, 이를 <math>s</math>의 '''리 미분'''이라고 한다.<ref name="KMS"/>{{rp|378, §47.5}}<ref name="GM"/>{{rp|Proposition 5.4}}

== 성질 ==
=== 미분 동형 사상과의 관계 ===
리 미분의 개념은 벡터장을 무한소 [[미분 동형 사상]]으로 간주하여 유도할 수 있다.

구체적으로, [[매끄러운 다양체]] 위에 [[리 군]] <math>\mathbb R</math>가 매끄럽게 [[군의 작용|작용]]한다고 하자.
:<math>f\colon\mathbb R\times M\to M</math>
:<math>f\colon(t,x)\mapsto f_t(x)</math>
:<math>f_0(x)=x\qquad\forall x\in M</math>
:<math>f_{s+t}(x)=f_s(f_t(x))\qquad\forall s,t\in\mathbb R,\;x\in M</math>
그렇다면, 벡터장 <math>X^i\in\Gamma(\mathrm TM)</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>f_t(x)=x^i+tX^i(x)+O(t^2)</math>
:<math>(\mathrm Df)^i_j=\delta^i_j+t\partial_jX^i</math>

이제, 임의의 벡터장 <math>T^i</math> 및 매끄러운 함수 <math>g\colon M\to M</math>에 대하여 [[밂 (기하학)|밂]]
:<math>
(g_*T)^i|_{g(x)}=(\mathrm Dg|_x)_j^i(T^j|_x)
</math>
를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 극한을 계산할 수 있다.
:<math>\lim_{t\to0}\left.\frac{(f_{-t}{}_*T)^i-T^i}t\right|_x</math>
::<math>=\lim_{t\to0}\frac{(\delta^i_j-t\partial_jX^i)|_xT^j|_{f_t(x)}-T^i|_x}t</math>
::<math>=\lim_{t\to0}\frac{(\delta^i_j-t\partial_jX^i)|_x(
T^j|_x+tX^k\partial_kT^j|_x)
-T^i|_x}t</math>
::<math>=
\left(X^k\partial_kT^i
-
(\partial_jX^i)T^j
\right)|_x=-(\mathcal L_XT)^i|_x
</math>

마찬가지로, 임의의 1차 미분 형식 <math>V_i</math>에 대하여, [[당김 (미분기하학)|당김]]
:<math>
(g^*V)_i|_x=(\mathrm Dg|_x)_i^j(V_j|_{g(x)})
</math>
을 정의할 수 있으며, 다음과 같은 극한을 계산할 수 있다.
:<math>\lim_{t\to0}\left.\frac{(f_t^*V)_i-V_i}t\right|_x</math>
::<math>=\lim_{t\to0}\frac{(\delta_i^j+t\mathrm Df)_i^j|xV_j|_{f_t(x)}-V_i|_x}t</math>
::<math>=\lim_{t\to0}\frac{\left(\delta_i^j+t\partial_iX^j|_x\right)(V_j|_x+tX^k\partial_kV_j)-V_i|_x}t</math>
::<math>=(\partial_iX^j)V^j+X^k\partial_kV_i=(\mathcal L_XV)_i</math>

=== 함수의 리 미분 ===
결론적으로, 함수 <math>f</math>에 대하여, 리 미분은 그냥 단순한 미분이다. 즉,
:<math>\mathcal L_Xf=Xf=X^\mu\partial_\mu f</math>
이다. 다양체에서 함수 <math>f\colon M \to {\mathbb R} </math>의 도함수 개념은 <math>x+h</math>가 정의되지 않아서 차이의 몫 <math>\textstyle (f(x+h)-f(x))/h </math>이 정의 될 수 없기 때문에 문제가 된다.

점 <math>p \in M</math>에서 [[벡터장]] <math>X</math>에 대해 함수 <math>f\colon M\to {\mathbb R}</math>의 리 미분은 다음 함수이다:

: <math>(\mathcal{L}_X f) (p) = {d \over dt} \biggr|_{t=0} \bigl(f \circ \Phi^t_X\bigr)(p) = \lim_{t\to 0} \frac{f\bigl(\Phi^t_X(p)\bigr) - f\bigl(p\bigr)}{t}</math>

여기서 <math>\Phi^t_X(p)</math>는 벡터장 <math>X</math>에 의해 정의된 흐름이 <math>t</math>에서 점 <math>p</math>를 사상하는 점이다. <math>t=0</math> 근방에서, <math>\Phi^t_X(p)</math>는 <math>t</math>에 독립인 1차 연립 미분 방정식

: <math>
\frac{d}{dt}\biggr|_t \Phi^t_X(p) = X\bigl(\Phi^t_X(p)\bigr)
</math>

의 유일한 해이다. 여기서, <math>\Phi^0_X(p) = p.</math>

<math>\mathcal{L}_X f = \nabla_X f</math>로 놓으면 방향 도함수로 함수의 리 미분을 식별한다

=== 벡터의 리 미분 ===
벡터장의 경우, 리 미분은 [[리 괄호]]가 된다.
:<math>\mathcal L_XY=[X,Y]</math>
이 경우, [[야코비 항등식]]에 따라 리 미분은 리 괄호에 대해 [[곱 규칙]]을 따른다.
:<math>\mathcal L_X[Y,Z]=[\mathcal L_XY,Z]+[Y,\mathcal L_XZ]</math>
:
:리괄호는 다음과 같이 두 가지 방식으로 정의 된다:{{Bulleted list|<math>p</math>에 있는 <math>X</math>와 <math>Y</math>의 리 괄호는 공식에 의해 국소 좌표로 주어진다
: <math>\mathcal{L}_XY(p) = [X,Y](p) = \partial_XY(p) - \partial_Y X(p), </math>

여기서 <math>\partial_X </math>와 <math>\partial_Y </math>는 각각 <math>X</math>와 <math>Y</math>에 대해 방향도함수를 취하는 연산을 나타낸다. 여기서 우리는 <math>n</math>차원 공간에 있는 벡터를 <math>n</math>-튜플로 취급함으로써, 그 방향도함수는 단순히 좌표의 방향 도함수로 이루어진 튜플이다. 이 정의에 나타난 최종 표현식 <math>\partial_X Y(p) - \partial_Y X(p) </math>는 국소 좌표의 선택에 의존하지 않지만, 개별 항 <math>\partial_X Y(p) </math>와 <math>\partial_Y X(p) </math>는 좌표의 선택에 의존한다.|만약 <math>X</math>와 <math>Y</math>가 두 번째 정의에 따라 다양체 <math>M</math>의 벡터장이라면, 연산자 <math>\mathcal{L}_X Y = [X,Y]</math>은 다음 공식으로 정의된다
: <math>[X,Y]: C^\infty(M) \rightarrow C^\infty(M)</math>
: <math>[X,Y](f) = X(Y(f)) - Y(X(f)</math>

이 연산자는 두 번째 정의에 따른 벡터장이며, <math>M</math>의 매끄러운 함수들의 차수 0의 도함수이다.}}

=== 텐서장의 리 미분 ===
==== 흐름 측면에서의 정의 ====
리 미분은 흐름으로 인해 공간이 바뀌면서 텐서장이 바뀌는 비율이다.

공식적으로, 매끄러운 다양체 <math>M</math>에 미분 가능한(시간 독립적인) 벡터장 <math>X</math>이 주어져 있고  <math>\Phi^t_X : M \to M</math> 가 해당 국소 흐름이라 하자. <math>\Phi^t_X</math>가 각 <math>t</math>에 대한 국소 미분동형사상이므로, 이는 텐서장의 [[당김]]을 발생시킨다. 공변 텐서의 경우 [[당김 (미분기하학)|당김 사상]]의 다중 선형 확장일 뿐이다.

: <math>\left(\Phi^t_X\right)^*_p : T^*_{\Phi^t_X(p)}M \to T^*_{p}M, \qquad \left(\Phi^t_X\right)^*_p \alpha (X) = \alpha\bigl(T_p \Phi^t_X(X)\bigr), \quad \alpha \in T^*_{\Phi^t_X(p)}M, X \in T_{p}M </math>

반공변 텐서의 경우 [[미분 사상|미분]] <math>T_p\Phi^t_X </math>의 역함수를 확장한다.

: <math>\left(T_p\Phi^t_X\right)^{-1} : T_{\Phi^t_X(p)}M \to T_{p}M</math>

모든 <math>t</math>에 대해, 결과적으로 <math>T</math>들과 같은 종류인 텐서장 <math>(\Phi^t_X)^* T</math>가 있다.

만약에 <math>Y</math>가 <math>(r,0)</math> 또는 <math>(0,s)</math>-형 텐서장이면, 벡터장 <math>X</math>를 따른 <math>Y</math>의 리 미분 <math>{\cal L}_XY</math>은 점 <math>p \in M</math>에서 다음과 같이 되도록 정의된다:

: <math>{\cal L}_X T(p) = \frac{d}{dt}\biggl|_{t=0} \left(\bigl(\Phi^t_X\bigr)^* T\right)_p = \frac{d}{dt}\biggl|_{t=0}\bigl(\Phi^t_X\bigr)^*_p T_{\Phi^t_X(p)}
= \lim_{t \to 0}\frac{\bigl(\Phi^t_X\bigr)^*T_{\Phi^t_X(p)} - T_p}{t}.</math>

결과 텐서장 <math>{\cal L}_X T</math>은 <math>T</math>들와 같은 유형이다.

더 일반적으로,  <math>{d \over dt}\biggr|_{t=0} \Phi_t = X \circ \Phi_0 </math>라는 의미에서  벡터장 <math>X </math>를 적분하는 미분동형사상들의 모든 매끄러운 1-매개변수 족 <math>\Phi_t </math>에 대해<math display="block">\mathcal{L}_X T = \bigl(\Phi_0^{-1}\bigr)^* {d \over dt}\biggr|_{t=0} \Phi_t^* T = - {d \over dt}\biggr|_{t=0} \bigl(\Phi_t^{-1}\bigr)^* \Phi_0^* T \, . </math>

=== 미분 형식의 리 미분 ===
<math>n</math>차 [[미분 형식]] <math>\omega</math>는 <math>(0,n)</math>차 텐서로 보고 그 리 미분을 정의할 수 있다. 이 경우, 리 미분은 다음과 같이 주어진다. 이 공식을 '''카르탕 마법 공식'''(Cartan魔法公式, {{llang|en|Cartan’s magic formula}})이라고 한다.
:<math>\mathcal L_X\omega=X\lrcorner d\omega+d(X\lrcorner\omega)</math>
여기서 <math>\lrcorner</math>는 [[내부곱]]({{llang|en|interior product}})을 나타낸다.
:<math>(X_1\lrcorner\omega)(X_2,\dots,X_n)=\omega(X_1,X_2,\dots,X_n)</math>
미분 형식에 대하여, 리 미분은 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.
:<math>\mathcal L_X(\alpha\wedge\beta)=\mathcal L_X\alpha\wedge\beta+\alpha\wedge\mathcal L_X\beta</math>
:<math>[\mathcal L_X,\mathcal L_Y]\alpha=\mathcal L_{[X,Y]}\alpha</math>
:<math>[\mathcal L_X,Y\lrcorner]\alpha=[X\lrcorner,\mathcal L_Y]\alpha=[X,Y]\lrcorner\alpha</math>

=== 대칭 (0,2)차 텐서장 ===
대칭 (0,2)차 텐서장 <math>g_{\mu\nu}</math> (예를 들어, [[리만 계량]])의 경우,
:<math>(\mathcal L_Xg)_{\mu\nu}=X^\rho\partial_\rho g_{\mu\nu}+
g_{\mu\rho}\partial_\nu X^\rho+g_{\nu\rho}\partial_\mu X^\rho</math>
이다.

특히, 만약 [[리만 계량]] <math>g</math>로 유도되는 [[아핀 접속]]을 사용할 경우, <math>\nabla_\mu g_{\rho\sigma}=0</math>이며, 따라서
:<math>(\mathcal L_Xg)_{\mu\nu}=\nabla_\nu X_\mu+\nabla_\mu X_\nu</math>
이다. 위 표현이 0이 되게 하는 [[벡터장]] <math>X</math>를 <math>g</math>의 [[킬링 벡터장]]이라고 한다.

== 역사 ==
1931년에 폴란드의 수학자 [[브와디스와프 실레보진스키]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Ślebodziński|이름=Władysław|저자링크=브와디스와프 실레보진스키|날짜=1931|제목=Sur les équations canoniques de Hamilton|저널=Bulletin de la Classe des Sciences de l’Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique|권=17|쪽=864–870|jfm=57.0498.02|언어=fr}}</ref><ref name="Trautman">{{서적 인용|이름=Andrzej|성=Trautman|날짜=2009|장=Remarks on the history of the notion of Lie differentiation|제목=Variations, geometry and physics. In honor of Demeter Krupka’s sixty fifth birthday|출판사=Nova Science Publishers|쪽=255–259|장url=http://www.fuw.edu.pl/~amt/4Krupka.pdf|url=https://www.novapublishers.com/catalog/product_info.php?products_id=7661|isbn=978-1-60456-920-9|editor1-first=Olga|editor1-last=Krupková|editor2-first=David|editor2-last=Saunders|zbl=1208.53019|언어=en|확인날짜=2016-12-07|보존url=https://web.archive.org/web/20161220153426/https://www.novapublishers.com/catalog/product_info.php?products_id=7661#|보존날짜=2016-12-20|url-status=dead}}</ref> 다비트 판 단지흐({{llang|nl|David van Danzig}}, 1900~1959)가 1932년에 [[소푸스 리]]의 이름을 따 이 연산을 "리 미분"({{llang|de|Liesche Ableitung}})이라고 명명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=David|성=van Dantzig|제목=Zur allgemeinen projektiven Differentialgeometrie. II. ''X''<sub>''n''+1</sub> mit eingliedriger Gruppe|저널=Proceedings of the Section of Sciences, Koninklĳke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam|권=35|호=4|날짜=1932-04-30|쪽=535–542|url=http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00016252.pdf|언어=de}}</ref>{{rp|536, §3}} 판 단치흐는 이 연산을 <math>\underset DL</math>로 표기하였다.

이와 독자적으로, 벨기에의 물리학자 레옹 로젠펠드({{llang|fr|Léon Rosenfeld}}, 1904~1974)는 [[일반 상대성이론]]을 다루는 동안 이와 유사한 연산을 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Rosenfeld|이름=Léon|날짜=1940|제목=Sur le tenseur d’impulsion-énergie|저널=Mémoires de la Classe des sciences de l’Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique|권=18|호=6|쪽=1–30|jfm=66.1142.03|zbl=0024.37801|언어=fr}}</ref> 로젠펠드는 이를 "국소 변화"({{llang|fr|variation locale}})이라고 불렀으며, <math>\delta^*</math>로 표기하였는데, 이는 오늘날의 <math>-\mathcal L_X</math>와 사실상 같다.<ref name="Trautman"/>{{rp|§3}}

1963년에 앙드레 리크네로비츠({{llang|fr|André Lichnerowicz}})가 스피너장의, [[킬링 벡터장]] 방향의 리 미분을 정의하였고,<ref>{{저널 인용|last=Lichnerowicz |first=André |날짜=1963-07-01 |title=Spineurs harmoniques |journal=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences |권=257 | 호=1 | pages=7–9 | url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4007z/f7.item | zbl=0136.18401 | 언어=fr }}</ref> 이후 1972년에 이베트 코스만슈와르즈바크({{llang|fr|Yvette Kosmann-Schwarzbach}})가 이를 임의의 [[벡터장]] 방향에 대하여 일반화하였다.<ref>{{저널 인용|last=Kosmann |first=Yvette |날짜=1972 |title=Dérivées de Lie des spineurs |journal=Annali di Matematica Pura ed Applicata |volume=91 |issue=4 |pages=317–395 |doi=10.1007/BF02428822 |언어=fr}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[측지선]]
* [[킬링 벡터장]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lie derivative}}
* {{eom|title=Lie differentiation}}
* {{매스월드|id=LieDerivative|title=Lie derivative}}
* {{매스월드|id=SpinorLieDerivative|title=Spinor Lie derivative}}
* {{nlab|id=Lie derivative}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/24504/what-is-the-origin-of-the-formula-for-the-lie-derivative-along-a-killing-vector|제목=What is the origin of the formula for the Lie derivative along a Killing vector?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:미분 연산자]]
[[분류:미분의 일반화]]