리프먼-슈윙거 방정식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{양자역학}}
[[양자역학]]에서 '''리프먼-슈윙거 방정식'''({{lang|en|Lippmann–Schwinger equation}})은 입자의 [[산란]]을 다루는 방정식이다. 미국의 버너드 리프먼({{lang|en|Bernard A. Lippmann}})과 [[줄리언 슈윙거]]가 1950년에 유도하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1103/PhysRev.79.469|저자=Bernard A. Lippmann, [[줄리언 슈윙거|Julian Schwinger]]|제목={{lang|en|Variational Principles for Scattering Processes I}}|저널={{lang|en|Physical Review}}|권=79|호=3|쪽=469–480|연도=1950}}</ref>

== 정의 ==
자유 해밀토니언이 <math>H_0</math>인 [[계 (물리학)|계]]에 퍼텐셜 <math>V</math>가 산란을 일으킨다고 하자. 입사(入射) 입자 <math>|\phi\rangle</math>는 자유 해밀토니언에 대하여 에너지 <math>E</math>를 가진 고유 상태라고 하자.
:<math>H_0|\phi\rangle=E|\phi\rangle</math>.
산란 이론의 목표는 <math>V</math>에 의하여 산란된 입자의 [[파동 함수]] <math>|\psi\rangle</math>를 계산하는 것이다. 즉, 다음 식을 만족하는 <math>|\psi\rangle</math>를 구한다.
:<math>(H_0+V)|\psi\rangle=E|\psi\rangle</math>.
이 두 식을 더하고, 항을 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다.
:<math>(E-H_0)|\psi\rangle=(E-H_0)|\phi\rangle+V|\psi\rangle</math>.
이제 양변에 <math>(E-H_0)^{-1}</math>를 곱할 수 있다면, 다음과 같은 식을 얻을 것이다.
:<math>|\psi\rangle\stackrel{?}=|\phi\rangle+(E-H_0)^{-1}V|\psi\rangle</math>.
하지만 <math>(E-H_0)^{-1}</math>은 <math>H_0</math>에 대한 고윳값이 <math>E</math>일 경우에는 정의할 수 없다. [[섭동 이론 (양자역학)|섭동 이론]]에서는 고윳값이 문제가 되는 경우를 적절한 사영 연산자로 사영해 없앨 수 있지만, 산란 이론에서 다루는 해밀토니언은 연속 스펙트럼을 가지므로 이렇게 할 수 없다. 대신, <math>E</math>를 [[복소수]]로 잡고, 그 허수 부분이 매우 작다고 하자.
:<math>|\psi^\pm\rangle=|\phi\rangle+(E\pm i\epsilon-H_0)^{-1}V|\psi^\pm\rangle</math> (<math>\epsilon\ll1</math>).
이렇게 하여 <math>|\psi^\pm\rangle</math>을 나타낼 수 있다. 이 식을 '''리프먼-슈윙거 방정식'''이라고 한다. 리프먼-슈윙거 방정식은 [[경로적분법]]을 통해 풀 수 있으며, 그 해 가운데 <math>|\psi^+\rangle</math>는 초기 상태, <math>|\psi^-\rangle</math>는 나중 상태의 [[파동 함수]]이다.
== 그린 함수 ==
리프먼-슈윙거 방정식은 다음과 같이 위치 고유벡터 <math>|\mathbf r\rangle</math>을 삽입해 [[적분 방정식]]으로 나타낼 수 있다.
:<math>\langle\mathbf r|\psi^\pm\rangle
=\langle\mathbf r|\phi\rangle
+\int\langle\mathbf r'|(E\pm i\epsilon-H_0)^{-1}V|\mathbf r'\rangle\langle\mathbf r'|\psi^\pm\rangle\,d\mathbf r'</math>.
통상적인 경우, 퍼텐셜 항은 위치에만 의존한다.
:<math>V=V(\mathbf r)</math>
그러면 이 식은 다음과 같다.
:<math>\langle\mathbf r|\psi^\pm\rangle
=\langle\mathbf r|\phi\rangle
+\int\langle\mathbf r|(E\pm i\epsilon+\nabla^2/2m)^{-1}|\mathbf r'\rangle V(\mathbf r')\langle\mathbf r'|\psi^\pm\rangle\,d\mathbf r'</math>.
여기서 다음과 같이 [[그린 함수]] <math>G^\pm(\mathbf r,\mathbf r')</math>를 정의하자.
:<math>G^\pm(\mathbf r,\mathbf r')=\langle\mathbf r|(E\pm i\epsilon+\nabla^2/2m)^{-1}|\mathbf r'\rangle</math>.
이를 대입하고, [[브라-켓 표기법]]을 일반 함수 표기법으로 바꾸면 다음과 같은 [[적분 방정식]]을 얻는다.
:<math>\psi^\pm(\mathbf r)=\phi(\mathbf r)+\int G^\pm(\mathbf r,\mathbf r')V(\mathbf r')\psi^\pm(\mathbf r')\,d\mathbf r'</math>.

빛의 속도보다 매우 느린 입자의 경우 <math>H_0</math>은 다음과 같다.
:<math>H_0=\mathbf p^2/2m=-\hbar^2\nabla^2/2m</math>.
이에 해당하는 그린 함수 <math>G^\pm(\mathbf r,\mathbf r')</math>는 [[경로적분법]]을 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.
:<math>G^\pm(\mathbf r,\mathbf r')=-\frac{2m}{\hbar^2}\frac{\exp(\pm i\sqrt{2mE}\Vert\mathbf r-\mathbf r'\Vert/\hbar)}{4\pi\Vert\mathbf r-\mathbf r'\Vert}</math>.

== 보른 근사법 ==
리프먼-슈윙거 방정식의 해는 '''보른 근사법'''({{lang|en|Born approximation}})을 통해 [[급수 (수학)|급수]]로 나타낼 수 있다.<ref>{{서적 인용|성=Born|이름=Max|저자링크=막스 보른|제목={{lang|de|Optik: Ein Lehrbuch der elektromagnetische Lichttheorie}}|출판사=Springer-Verlag|연도=1933}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light|판=7판|저자=[[막스 보른|Max Born]], Emil Wolf|출판사=Cambridge University Press|연도=1999|isbn=9780521642224}} (1판: {{서적 인용|제목=Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light|저자=[[막스 보른|Max Born]], Emil Wolf|판=1판|출판사=Pergamon|연도=1959}})</ref>

1차 보른 근사법이란 리프먼-슈윙거 방정식 우변에서 총 파동 함수 <math>|\psi\rangle</math>를 입사 파동 함수 <math>|\phi\rangle</math>으로 치환하여 푸는 것이다. (즉, 이미 산란된 입자가 재차로 산란되는 경우를 무시한다.)
:<math>|\psi^{(1)}\rangle=|\phi\rangle+(E+i\epsilon-H_0)^{-1}V|\phi\rangle</math>.
이 해를 리프먼-슈윙거 방정식에 도입해 2차 이상의 보른 근사를 차례로 계산할 수 있다.
:<math>|\psi^{(n+1)}\rangle=|\phi\rangle+(E+i\epsilon-H_0)^{-1}V|\psi^{(n)}\rangle</math>.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|저자=Jun John Sakurai, Jim J. Napolitano|연도=2011|제목=Modern Quantum Mechanics|출판사=Addison-Wesley|ISBN=0805382917|언어=영어|url=http://www.pearsonhighered.com/educator/product/Modern-Quantum-Mechanics/9780805382914.page}}

{{전거 통제}}

[[분류:양자역학]]
[[분류:산란]]