리치 곡률 텐서 문서 원본 보기

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[[리만 기하학]]에서 '''리치 곡률 텐서'''(Ricci曲率tensor, {{llang|en|Ricci curvature tensor}})는 [[리만 다양체]]의 [[곡률]]을 나타내는 2차 [[텐서장]]으로, [[리만 곡률 텐서]]의 [[대각합]]이다. 부피의 왜곡을 나타내는 것으로 해석할 수 있다.

== 정의 ==
[[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>가 주어졌다고 하자. 그 위의 [[리만 곡률 텐서]] <math>\operatorname{Riem}(\cdot,\cdot)</math>을 생각하자. 리만 곡률 텐서는 (1,3)차 텐서장으로, 대칭 및 반대칭 성질에 따라 0이 아닌 [[대각합]]이 사실상 하나 밖에 없다. 이는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Ric}(\xi,\eta)=\operatorname{Tr}\left[\operatorname{Riem}(\cdot,\eta)\xi\right]</math>
국소 좌표계로 [[크리스토펠 기호]]로 표기하면 다음과 같다. [[아인슈타인 표기법]]을 쓰자.
:<math>R_{ab} = {R^c}_{acb} =2 \Gamma^c_{a[b,c]} +2 \Gamma^c_{d[c} \Gamma^d_{b]a}</math>

리치 곡률 텐서의 [[대각합]]은 '''[[스칼라 곡률]]'''이라고 한다.

== 성질 ==
=== 대칭 ===
리치 곡률 텐서는 2차 대칭 텐서장이다. 즉, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Ric}(\xi,\eta)=\operatorname{Ric}(\eta,\xi)</math>
즉, 이는 <math>n\ge3</math>차원에서 <math>n(n+1)/2</math>개의 독립된 성분을 갖는다. 

2차원에서 리치 곡률 텐서는 1개의 성분을 가지며, 항상 [[리만 계량]]에 비례한다. 1차원에서 리치 곡률 텐서는 항상 0이다.

=== 연산과의 호환 ===
==== 곱공간 ====
리치 곡률 텐서는 ([[바일 곡률 텐서]]와 달리) [[곱공간]]에서 블록 대각 행렬로 분해된다.<ref>{{저널 인용|제목=The Riemannian and affine differential geometry of product-spaces|이름=F. A.|성=Ficken|doi=10.2307/1968900|jstor=1968900|저널=Annals of Mathematics|권=40|호=4|날짜=1939-04|쪽=892–913|언어=en}}</ref> 즉, 두 [[리만 다양체]] <math>(M_1,g_1),(M_2,g_2)</math>의 [[곱공간]] <math>M=M_1\times M_2</math>에 블록 대각 [[계량 텐서]]
:<math>g=\begin{pmatrix}g_1&0\\0&g_2\end{pmatrix}</math>
를 주었을 때, 리치 곡률 텐서 역시 블록 대각 꼴을 취한다.
:<math>\operatorname{Ric}[g]=\begin{pmatrix}\operatorname{Ric}[g_1]&0\\0&\operatorname{Ric}[g_2]\end{pmatrix}</math>

==== 등각 변환 ====
<math>n</math>차원 [[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 실수 스칼라 함수
:<math>\phi\colon M \to \mathbb R</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 등각 변환
:<math>\tilde g = \exp(2\phi)g</math>
를 가하여, <math>\tilde g</math>의 리치 곡률을 생각할 수 있다. 이는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Ric}[\tilde g]_{ij} = \operatorname{Ric}[g]_{ij} - (n-2)\left( \nabla_i\partial_j \phi - (\partial_i \phi)(\partial_j \phi) \right) + \left( \Delta \phi - (n-2)\|\nabla \phi\|^2 \right)g_{ij} </math>
여기서
:<math>\Delta \phi = -g^{ij}\nabla_i\partial_j\phi</math>
는 [[라플라스-벨트라미 연산자]]이다. (반면, (1,3)차 [[바일 곡률 텐서]]는 등각 변환에 불변이다.)

특히, (0,2)차 리치 곡률 텐서는 리만 계량의 상수배 변환에 대하여 불변이다. (이는 (1,3)차 [[리만 곡률 텐서]]가 리만 계량의 상수배 변환에 대하여 불변이기 때문이다.)

=== 켈러 다양체 ===
[[켈러 다양체]] <math>M</math> 위에서, 리치 곡률 텐서는 다음과 같은 [[2차 미분 형식|(1,1)차 미분 형식]]인 '''리치 미분 형식'''({{llang|en|Ricci differential form}})으로 적을 수 있다.
:<math>\rho(X,Y) = -\rho(Y,X) = \operatorname{Ric}(JX,Y)\qquad\forall x\in M,\;X,Y\in\mathrm T_xM</math>
:<math>\operatorname{Ric}(X,Y) = -\rho(JX,Y) = \rho(X,JY)</math>
여기서 <math>J\colon \mathrm TM\to \mathrm TM</math>는 <math>M</math>의 [[복소구조]]이다.

리치 미분 형식은 정칙 국소 좌표계 <math>(z^i,\bar z^{\bar\imath})</math>에서 다음과 같이 표현된다.
:<math>\rho = -\mathrm i\partial\bar\partial\ln\det \begin{pmatrix}g_{i\bar\jmath}\end{pmatrix}</math>
여기서
:<math>\partial \colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{p+1,q}(M)</math>
:<math>\bar\partial \colon \Omega^{p,q}(M) \to \Omega^{p,q+1}(M)</math>
는 [[돌보 코호몰로지|돌보 연산자]]이며, <math>g_{i\bar\jmath}</math>는 정칙 국소 좌표로 표현된 에르미트 계량이다. 즉, [[표준 선다발]]의 U(1) [[주곡률]]은 <math>\rho</math>에 비례한다.

== 역사 ==
[[그레고리오 리치쿠르바스트로]]의 이름을 땄다. 리치쿠르바스트로는 1900년 [[툴리오 레비치비타]]와 공저한 논문<ref>{{저널 인용|title=Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications|성=Ricci|이름=Gregorio|저자링크=그레고리오 리치쿠르바스트로|저자링크2=툴리오 레비치비타|이름2=Tullio|성2=Levi-Civita|journal=Mathematische Annalen|volume=54|issue=1–2|date=March 1900|pages=125–201|doi=10.1007/BF01454201|언어=fr}}</ref>에서 이름을 "리치"({{llang|it|Ricci}})로 줄여 썼는데, 이 때문에 “리치 텐서”로 이름지어졌다. (리치쿠르바스트로가 쓴 다른 논문에서는 정식 이름을 사용하였다.)

== 응용 ==
[[일반 상대성 이론]]의 진공해는 리치 곡률이 0인 [[준 리만 다양체]]이다. 즉, [[아인슈타인 방정식]]에서 [[아인슈타인 텐서]]가 0일 조건은 리치 곡률 텐서가 0일 조건과 동치이다.

== 같이 보기 ==
* [[스칼라 곡률]]
* [[리치 평탄 다양체]]
* [[크리스토펠 기호]]
* [[일반상대론의 수학적 공식화 개론]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=RicciCurvatureTensor|title=Ricci curvature tensor}}
* {{nlab|id=Ricci+curvature}}

[[분류:리만 기하학]]
[[분류:일반 상대성이론]]
[[분류:곡률]]