리치 격자 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''리치 격자'''({{Llang|en|Leech lattice}})는 24차원 [[유클리드 공간]]의 짝 [[유니모듈러 격자]] Λ<sub>24</sub>로, [[입맞춤 수 문제]]에 대한 최적해 중 하나이다. {{하버드 인용들|txt|authorlink=John Leech (mathematician)|first=John|last=Leech|year=1967}}에 의해 발견되었다. 1940년 [[에른스트 비트]]에 의해 발견되었을 수도 있으나 결과가 출판되지는 않았다.

== 특성화 ==
리치 격자 Λ<sub>24</sub>는 다음 성질을 만족하는 24차원 [[유클리드 공간]] '''R'''<sup>24</sup>의 유일한 격자이다.

* [[유니모듈러 격자]]이다. 즉, [[행렬식]] 1인 어떤 24 &#xD7; 24 [[행렬]]의 열벡터에 의해 생성될 수 있다.
* 짝 유니모듈러 격자이다. 즉, Λ<sub>24</sub>의 각 벡터 길이의 제곱은 짝수 정수입니다.
* Λ<sub>24</sub>의 모든 0이 아닌 벡터의 길이는 2 이상이다.

마지막 조건은 Λ<sub>24</sub>의 각 점을 중심으로 하는 단위구가 겹치지 않는다는 조건과 같다. 각 단위구는 196,560개의 이웃에 접하며, 이는 서로 중첩하지 않고 하나의 단위구에 동시에 닿을 수 있는 24차원 단위구의 최대 개수로 알려져 있다. 다른 단위구를 중심으로 단위구 196,560개의 이러한 배열은 아주 효율적이어서 구를 움직일 공간이 없다. 이 구성과 그 거울상은 196,560개의 단위구가 동시에 서로 접촉하는 ''유일한'' 24차원 배열이다. 이 성질은 [[정수 격자]], [[정육각형 타일링|육각형 타일링]] 및 [[E8 격자|E<sub>8</sub> 격자]] 각각을 기반으로 하는 각각 2, 6 및 240개의 단위구가 있는 1, 2 및 8차원에서도 적용된다.

== 응용 ==
1949년에 독자적으로 개발된 [[이진 골레 부호]]는 각 24비트 단어에서 최대 3개의 오류를 정정하고 4번째 워드를 검출할 수 있는 오류 정정 부호이다. 이진 골레 부호는 이전에 사용된 [[아다마르 부호]]보다 훨씬 더 간결하기 때문에 [[보이저 계획|보이저 탐사선]]과 통신하는 데 사용되었다.

[[양자화 (정보 이론)|양자화기]] 또는 [[아날로그-디지털 변환회로]]는 격자를 사용하여 평균 [[제곱평균제곱근|제곱 평균]] 오차를 최소화할 수 있다. 대부분의 양자화기는 1차원 정수 격자를 기반으로 하지만, 다차원 격자를 사용하면 제곱 평균 오차가 줄어든다. 리치 격자는 [[보로노이 다이어그램]]의 두 번째 [[모멘트 (수학)|모멘트]]가 낮기 때문에 이 문제에 대한 좋은 해이다.

24차원 [[몫군|몫]] [[원환면]] '''R'''<sup>24</sup>/Λ<sub>24</sub> 로 압축되고 2요소 반사 그룹에 의해 [[오비폴드]]된 [[보손 끈 이론]]을 설명하는 [[2차원 등각 장론]]의 [[꼭짓점 연산자 대수|꼭짓점 대수]]는 [[괴물군 (수학)|괴물군]]을 자기 동형군으로 갖는 Griess 대수의 명시적 구성을 제공한다. 이 '''괴물 꼭짓점 대수'''는 [[가공할 헛소리]] 추측을 증명하는 데 사용되었다.

== 구성 ==
리치 격자는 다양한 방법으로 구성할 수 있다. 우선, 모든 격자와 마찬가지로  [[행렬식]]이 1인 24 &#xD7; 24 생성 행렬의 열벡터의 [[정수]] 생성을 사용하여 구성할 수 있다.<ref>{{인용|zbl=0915.52003|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|url-access=registration|year=1999|mr=662447|isbn=978-0-387-98585-5|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=New York, NY|volume=290|edition=Third|last1=Conway|title=Sphere packings, lattices and groups|others=With contributions by Bannai, E.; Borcherds, R. E.; Leech, J.; Norton, S. P.; Odlyzko, A. M.; Parker, R. A.; Queen, L.; Venkov, B. B.|author2-link=Neil Sloane|first2=N.J.A.|last2=Sloane|author1-link=John Horton Conway|first1=J.H.|url=https://archive.org/details/spherepackingsla0000conw_b8u0}}</ref>{{숨김|리치 생성 행렬|리치 격자의 24x24 생성 행렬 (행 표기법)은 다음 행렬을 <math>\sqrt{8}</math>으로 나눈 것이다:
 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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 -3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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=== 복소 격자로서 구성 ===
리치 격자는 [[아이젠슈타인 정수]]에 대한 12차원 격자이기도 하다. 이것은 '''복소 리치 격자'''(complex Leech lattice)로 알려져 있으며 24차원 리치 격자와 동형이다. 리치 격자의 복소수 구성에서 [[이진 골레 부호]] 대신 [[삼진 골레 부호]]를, [[마티외 군]] M<sub>24</sub>대신 마티외 군 M<sub>12</sub>를 사용한다. ''E''<sub>6</sub> 격자, ''E''<sub>8</sub> 격자 및 콕서터-토드 격자 또한 아이젠슈타인 정수 또는 [[가우스 정수]]에 대한 복소 격자로서 구성할 수 있다.

== 대칭 ==
리치 격자는 고도로 대칭적이다. 리치 격자의 자기동형군은 위수 {{Val|8315553613086720000|fmt=commas}}인 콘웨이 군 Co<sub>0</sub>이다. Co<sub>0</sub>의 중심은 두 개의 원소로 이루어져 있고, 이 중심에 의한 Co<sub>0</sub> 의 몫군은 유한 단순군인 콘웨이 군 Co<sub>1</sub>이다. 나머지 콘웨이 군 및 [[마티외 군]] 등 많은 [[산재군]]은 리치 격자의 다양한 부분집합의 안정자로서 구성될 수 있다.

고도의 회전 대칭군을 가지고 있음에도 불구하고 리치 격자는 어떤 초평면의 반사 대칭도 갖지 않는다. 즉, 리치 격자는 [[카이랄성]]을 갖는다. 또한 24차원 [[초입방체]] 및 [[단체 (수학)|단체]]보다 대칭이 훨씬 적다.

자기 동형군은 [[존 호턴 콘웨이]]에 의해 처음 기술되었다. 노름 8의 벡터 {{Val|398034000|fmt=commas}}개는 각각 벡터 48개로 이루어진 '십자가' {{Val|8292375|fmt=commas}}개에 속한다. 십자가는 24개의 서로 직교하는 벡터와 그 덧셈 역원을 포함하는 도형으로, 24차원 [[정축체]]의 꼭짓점을 나타낸다. 각 십자가는 격자의 좌표계로 간주할 수 있으며, [[이진 골레 부호|골레 부호]]와 동일한 대칭, 즉 2<sup>12</sup> &#xD7; |M<sub>24</sub>|를 갖는다. 따라서 리치 격자의 자기 동형군은 위수 {{Val|8292375|fmt=commas}} &#xD7; {{Val|4096|fmt=commas}} &#xD7; {{Val|244823040|fmt=commas}}, 또는 동등하게 {{Val|8315553613086720000|fmt=commas}}을 갖는다.

== 같이 보기 ==
* [[E8 격자|E<sub>8</sub> 격자]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [http://cp4space.wordpress.com/2013/09/12/leech-lattice/ 리치 격자(CP4space)]
* {{매스월드|id=LeechLattice|제목=Leech Lattice}}
* [https://web.archive.org/web/20110727121450/http://www.math.uic.edu/~ronan/Leech_Lattice The Leech Lattice, U. of Illinois at Chicago, Mark Ronan's website]
* [http://math.berkeley.edu/~reb/papers/ Papers by R. E. Borcherds]
[[분류:산재군]]
[[분류:격자점]]
[[분류:이차 형식]]