리스의 보조정리 문서 원본 보기

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'''리스의 보조정리'''(Riesz' lemma, -補助定理)는 [[헝가리]] 수학자 [[리스 프리제시]]의 이름이 붙은 [[함수해석학]]의 [[보조정리]]이다. 이는 [[노름 공간]]의 어떤 [[부분공간]]이 [[조밀집합]]이라는 것을 보장하는 조건을 제시한다.

== 공식화 ==
X가 [[노름 공간]]이고, Y가 X의 [[닫힌집합|닫힌]] 진부분공간이라 하자. 그러면 임의의 [[실수]] 0<a<1에 대해서 <math>x_a \in S_X = \{x \in X | \parallel x \parallel = 1 \}</math> 이 존재하여 모든 <math>y \in Y</math> 에 대하여 다음이 성립한다.<ref name="a">방현수, 《실해석&함수해석학》, 교우사, 2002, 173쪽.</ref>

: <math>\parallel x_a - y \parallel > a.</math>

== 증명 ==
<math>x \in X-Y</math>를 임의로 하나 잡는다. Y가 [[닫힌집합]]이므로 <math>0 < d = \inf \{\parallel x-z \parallel | z \in Y \} < \frac{d}{a}</math>이다. 따라서 <math>z \in Y</math> 가 존재하여 <math>\parallel x-z \parallel < \frac{d}{a}</math> 이 된다. 이제 <math>x_a := \frac{x-z}{\parallel x-z \parallel}</math> 라 하면, <math>x_a \in S_X</math> 이고, <math>y \in Y</math> 이면,

: <math>\parallel x_a - y \parallel = \parallel \frac{x-z}{\parallel x-z \parallel} - y \parallel = \frac{\parallel x-(z+\parallel x-z \parallel y)\parallel}{\parallel x-z \parallel} > \frac{a}{d} d = a.</math><ref name="a"/>

== 각주 ==
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== 참고 문헌 ==
* 방현수, 《실해석&함수해석학》, 교우사, 2002.

[[분류:함수해석학]]
[[분류:보조정리]]