리만 합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[수학]]에서 '''리만 합'''({{lang|en|Riemann sum}})은 [[적분]]의 값을 근사하는 데 사용되는 방법이다. 또한 새로운 적분 [[연산 (수학)|연산]]을 정의하기 위해 사용되기도 한다. 리만 합이라는 수학 용어는 [[베른하르트 리만]]의 이름을 본따서 붙여졌다.

== 정의 ==

[[실수]]의 부분집합 ''D''에서 정의되는 함수 ''f'': ''D'' &rarr; '''R'''를 생각하자. 그리고 ''I''=[''a'', ''b'']인 [[닫힌구간]]이 ''D'' 안에 들어있다고 하자. 점들의 유한 집합 {''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ... ''x''<sub>''n''</sub>}은 ''a'' = ''x''<sub>0</sub> < ''x''<sub>1</sub> < ''x''<sub>2</sub> ... < ''x''<sub>''n''</sub> = ''b''이고 ''I''안에 들어있는 다음의 [[분할]]({{llang|en|partition}})을 생성한다. :

:''P'' = {<nowiki>[</nowiki>''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>), <nowiki>[</nowiki>''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>), ... [''x''<sub>''n''-1</sub>, ''x''<sub>''n''</sub>]}

만약 ''P''가 ''I''의 ''n'' 개의 원소들을 가지는 분할이라면, ''I'' 상에서 분할 ''P''를 가지는 ''f''의 '''리만 합'''은 다음과 같이 정의된다. :

:<math>S = \sum_{i=1}^{n} f(y_i)(x_{i}-x_{i-1})</math>

여기서 ''x''<sub>''i''-1</sub> &le; ''y''<sub>''i''</sub> &le; ''x''<sub>''i''</sub>이며, 구간 내에서 ''y''<sub>''i''</sub>의 선택은 임의적이다. 모든 ''i''에 대하여 ''y''<sub>''i''</sub> = ''x''<sub>''i''</sub>라면 ''S''는 '''오른쪽 리만 합'''으로, ''y''<sub>''i''</sub> = ''x''<sub>''i''-1</sub>라면 '''왼쪽 리만 합''', ''y''<sub>''i''</sub> = (''x''<sub>''i''</sub>+''x''<sub>i-1</sub>)/2라면 '''가운데 리만 합'''으로 각각 불린다. 왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합의 평균을 취한 것이 ''사다리꼴 합''({{llang|en|Trapezoidal sum}})이라고 불리는 것과 같다.

우리가 다음 식을 가지고 있다고 하자. :

:<math>S = \sum_{i=1}^{n} v_i(x_{i}-x_{i-1})</math>

여기서, ''v''<sub>''i''</sub>는 [''x''<sub>''i''-1</sub>, ''x''<sub>''i''</sub>]에서 ''f''의 [[최소 상한]]이다. 그러면 ''S''는 '''위쪽 리만 합'''으로 정의될 수 있다. 이와 비슷하게, ''v''<sub>''i''</sub>가 [''x''<sub>''i''-1</sub>, ''x''<sub>''i''</sub>]에서 ''f''의 [[최대 하한]]이라면 ''S''는 '''아래쪽 리만 합'''이다.

주어진 분할(''x''<sub>''i''-1</sub>과 ''x''<sub>''i''</sub> 사이에서 임의로 선택한 ''y''<sub>''i''</sub>)을 가지는 어떠한 리만 합도 위쪽 리만 합과 아래쪽 리만 합 사이에 들어있게 된다. 어떤 함수가 분할을 더 작게 쪼개면 쪼갤수록 아래쪽 리만 합과 위쪽 리만 합이 점점 가까워진다면 이 함수는 ''[[리만 적분 가능]]''으로 정의된다. 이 사실은 [[수치 적분]]에 사용된다.

== 방법들 ==

위에서 언급했듯이, 리만 합을 계산하기 위한 몇 가지 방법들이 있다. 왼쪽, 오른쪽, 가운데, 사다리꼴 합이 바로 그것이다. 아래에서는 각 구간이 동일한 크기를 가지는 분할을 이용해 간단한 경우로 예를 들어보겠다. 즉, [''a'', ''b'']는 ''n''개의 구간으로 쪼개지고, 각각의 길이 ''Q''=(''b''-''a'')/''n''이다. 따라서 각 분할의 점들은

: ''a'', ''a''+''Q'', ''a''+2''Q'', ..., ''a''+(''n''&minus;2)''Q'', ''a''+(''n''&minus;1)''Q'','' b''.

이 된다.

=== 1.왼쪽 리만 합 ===

[[파일:LeftRiemann2.png|섬네일|150px|right|[0,2]에서 ''x''<sup>3</sup>의 왼쪽 리만 합은 4개의 부분 구간을 가진다.]]
왼쪽 리만 합을 계산하기 위해 분할한 각 구간의 왼쪽 끝점을 함숫값(=높이)으로 이용한다. 그러면 밑변 ''Q''와 높이 ''f''(''a''+''iQ'')를 가지는 여러 개의 사각형이 생긴다. 이것을 ''i''=0, 1, ..., ''n''&minus;1 동안 반복하여 더하면 결과 면적은

:<math>Q\left[f(a) + f(a + Q) + f(a + 2Q)+\dots+f(b - Q)\right].\,</math>

이 된다.

이 구간에서 ''f''가 [[단조 감소]]인 경우 왼쪽 리만 합은 실제 값보다 크게 예측한 것이 될 것이고, [[단조 증가]]라면 실제보다 작게 예측한 것이 될 것이다.

=== 2.오른쪽 리만 합 ===

[[파일:RightRiemann2.PNG|섬네일|right|[0,2]에서 4개의 부분 구간을 가지는 ''x''<sup>3</sup>의 오른쪽 리만 합]]
여기서는 각 구간의 오른쪽 끝점을 함숫값(=높이)으로 이용한다. 그러면 ''Q''와 높이 ''f''(''a''+''iQ'')를 가지는 여러 개의 사각형이 생긴다. 이것을 ''i''=1, 2, ''n''&minus;1 동안 반복하여 더하면 다음 결과를 얻는다. :

:<math>Q\left[f(a + Q) + f(a + 2Q)+\dots+f(b)\right].\,</math>

왼쪽 리만 합과 반대로, 오른쪽 리만 합은 단조 증가인 ''f''의 리만 합을 크게 예측한 것이 되고, 단조 감소인 ''f''의 리만 합을 작게 예측한 것이 된다.


* (주의)*
-왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합은 함수 꼴에 따라 부등호의 방향이 바뀔 수 있다. (증가함수와 감소함수의 경우 좌,우 리만 합의 부등호 방향이 바뀐다.)


=== 3.가운데 리만 합 ===

[[파일:MidRiemann2.PNG|섬네일|right|[0,2]에서 4개의 부분 구간을 가지는 ''x''<sup>3</sup>의 가운데 리만 합]]
이 경우에는 각 부분 구간의 중간점에서 ''f''의 값을 구한다. 따라서 첫 번째 구간은 ''f''(''a'' + ''Q''/2)의 값을, 두 번째 구간은 ''f''(''a'' + 3''Q''/2)를 가진다. 이를 반복하여 마지막 구간에 다다르면 ''f''(''b''-''Q''/2)이 된다. 이것을 모두 합하면,

:<math>Q\left[f(a + Q/2) + f(a + 3Q/2)+\dots+f(b-Q/2)\right].</math>

임을 알 수 있다.

이 식의 오차는

:<math>\left \vert \int_{a}^{b} f(x) - A_{mid} \right \vert \le \frac{M_2(b-a)^3}{(24n^2)},</math>

가 된다. 여기서 <math>M_2</math>는 이 구간에서 <math>f^{\prime\prime}(x)</math>의 절댓값의 최댓값이다.

=== 4.사다리꼴 규칙 ===

[[파일:TrapRiemann2.PNG|섬네일|right|[0,2] 구간에서 4개의 부분 구간을 가지는 ''x''<sup>3</sup>의 사다리꼴 리만 합]]
여기서는, 각 구간의 왼쪽 끝점과 오른쪽 끝점의 평균값을 이용하여 구한다. 위의 방법들과 마찬가지로, 각 [[사다리꼴]]의 넓이인 <math>A=h(b_1+b_2)/2</math> (평행한 두 변은 ''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, 높이가 ''h'')을 더하면,

:<math>\frac{1}{2}Q\left[f(a) + 2f(a+Q) + 2f(a+2Q) + 2f(a+3Q)+\dots+f(b)\right].</math>

이 적분 근사식의 오차는

:<math>\left \vert \int_{a}^{b} f(x) - A_{trap} \right \vert \le \frac{M_2(b-a)^3}{(12n^2)},</math>

가 된다. 여기서 <math>M_2</math>는 이 구간에서 <math>f^{\prime\prime}(x)</math>의 절댓값의 최댓값이다.

== 같이 보기 ==
* [[적분학]]
[[분류:적분학]]
[[분류:베른하르트 리만]]