리만-후르비츠 공식 문서 원본 보기

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[[기하학]]과 [[복소해석학]]에서 '''리만-후르비츠 공식'''({{llang|en|Riemann–Hurwitz formula}})은 주어진 곡면 위의 분기 피복(ramified cover)의 [[오일러 지표]]에 대한 공식이다.

== 역사 ==
[[베른하르트 리만]]과 [[아돌프 후르비츠]]가 증명하였다.

== 정의 ==
두 콤팩트 [[리만 곡면]] <math>S,T</math> 사이에 [[정칙함수]] <math>\pi\colon T\to S</math>가 존재한다고 하자. 이 함수가 <math>p\in T</math>에서 국소적으로 <math>z\mapsto z^n+O(z^{n+1})</math> (<math>n>1</math>) 꼴일 경우, 이를 '''분기점'''({{llang|en|ramified point}})이라고 하고, <math>e_p=n</math>을 그 '''분기 지표'''({{llang|en|ramification index}})라고 한다. <math>\pi</math>가 유한개의 분기점을 가지고, 분기점이 아닌 점에서는 국소 동형사상(<math>N</math>중 [[피복 공간]])이라고 하자. 그렇다면 두 리만 곡면의 [[오일러 지표]] 사이에 다음이 성립한다.
:<math>\chi(T)=N\chi(S)-\sum_{p\in T}(e_p-1)</math>
여기서 <math>\sum_{p\in T}</math>는 <math>\pi</math>의 분기점들에 대한 합이다. 이 공식을 '''리만-후르비츠 공식'''이라고 한다.

이 공식에 따라서, 낮은 종수에서 높은 종수로 가는 [[분지 피복]]은 존재하지 않는다. 또한, 종수 0의 [[리만 곡면]] 위에는 분지점이 없는 피복은 존재하지 않는다.

== 예 ==
[[바이어슈트라스 타원함수]] <math>\wp(\cdot,\Lambda)\colon\mathbb C/\Lambda\to\hat{\mathbb C}</math>는 타원곡선 <math>\mathbb C/\Lambda</math>에서 [[리만 구면]]으로 가는 [[정칙함수]]다. 이는 2중 피복이며, 또한 네 개의 분기 지표가 2인 분기점을 갖는다. 따라서
:<math>0=2\cdot 2-4\cdot(2-1)</math>
이다.

[[리만 구면]]위에서 다음과 같은 [[정칙함수]] <math>\hat{\mathbb C}\to\hat{\mathbb C}</math>, <math>z\mapsto z^N</math>을 생각하자 (<math>N>1</math>). 그렇다면 이는 <math>N</math>중 [[분지 피복]]이며, 그 분기점은
* <math>z=0</math>, 분지 지표 <math>n</math>
* <math>z=\widehat\infty</math>, 분지 지표 <math>n</math>
이다. 따라서 리만-후르비츠 공식은
:<math>2=N\cdot2-(n-1)-(n-1)</math>
이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic Geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Riemann-Hurwitz formula}}

[[분류:리만 곡면]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:대수기하학]]