르장드르 다항식 문서 원본 보기

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'''르장드르 다항식'''({{lang|en|Legendre polynomial}}) <math>P_n(x)</math>는 '''르장드르 미분 방정식'''({{lang|en|Legendre differential equation}})이라고 불리는 다음 미분 방정식의 해가 되는 함수들이다.
:<math>(1-x^2) {d^2 \over dx^2} P(x) - 2x {d \over dx}P(x) + n(n+1)P(x) = 0</math>
[[스튀름-리우빌 이론|스튀름-리우빌 형식]]으로 쓰면,
:<math>{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + n(n+1)P(x) = 0</math>
이다. 이 함수와 미분 방정식의 이름은 프랑스의 수학자 [[아드리앵마리 르장드르]]의 이름을 따 명명되었다. 이 상미분 방정식은 물리와 공학의 여러 분야에서 자주 등장한다. 특히, [[구면좌표계]]에서 [[라플라스 방정식]]을 풀 때 등장한다.

== 르장드르 다항식 ==
구체적인 몇몇 르장드르 다항식의 형태는 다음과 같다.

{| class="wikitable" style="margin: auto;background:white;"
|-----
! width="10%" align="center" | <math>n</math>
! align="center" | <math>P_n(x)</math>
|-----
| align="center" | 0 || <math>1</math>
|-----
| align="center" | 1 || <math>x</math>
|-----
| align="center" | 2
| <math>\frac12(3x^2-1)</math>
|-----
| align="center" | 3
| <math>\frac12(5x^3-3x)</math>
|-----
| align="center" | 4
| <math>\frac18(35x^4-30x^2+3)</math>
|-----
| align="center" | 5
| <math>\frac18(63x^5-70x^3+15x)</math>
|-----
| align="center" | 6
| <math>\frac1{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)</math>
|-----
| align="center" | 7
| <math>\frac1{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)</math>
|-----
| align="center" | 8
| <math>\frac1{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)</math>
|-----
| align="center" | 9
| <math>\frac1{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)</math>
|-----
| align="center" | 10
<td><math>\frac1{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)</math>
|}

<math>n = 1,2,3,4,5</math>인 경우의 구간 [-1,1]사이에서의 르장드르 다항식의 그래프는 다음과 같다.

[[파일:Legendre_poly.svg|700px|가운데]]

== 성질 ==
=== 간단한 성질 ===
르장드르 다항식에는 다음과 같은 몇몇 간단한 성질이 있다.
* <math>P_n(-x) = (-1)^n P_n(x)</math>
* <math>P_n(1) = 1 </math>
* <math>P_n(-1) = (-1)^n</math>
* <math>P'_n(1) = \frac{n(n+1)}{2}</math>
* <math>n</math>이 홀수이면 <math>P_n(0) = 0</math>
* <math>n</math>이 짝수이면 <math>P'_n(0) = 0</math>

=== 수직 관계 ===
르장드르 다항식 끼리 [[구간]] [-1,1]에서 <math>L^2</math> 내적을 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
:<math>\left( P_n , P_m \right) = \int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = \frac 2{2n + 1} \delta_{mn}</math>.
여기서 <math>\delta_{mn}</math>은 [[크로네커 델타]]를 의미한다. 따라서, 르장드르 다항식은 구간 [-1,1]에서 서로 수직함을 알 수 있다. 이는 르장드르 방정식이 [[스튀름-리우빌 이론|스튀름-리우빌 문제]]에 속하기 때문이다. 즉, 르장드르 미분 방정식을 다음과 같이 [[스튀름-리우빌 이론|스튀름-리우빌 형식]]으로 놓을 수 있다.
:<math>{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + \lambda P(x) = 0</math>
여기서 [[고윳값]] <math>\lambda = n(n+1)</math>이다. 스튀름-리우빌 문제의 해의 집합은 일반적으로 함수 공간의 [[정규 직교 기저]]를 이루므로, 르장드르 다항식도 마찬가지로 직교 기저를 이룬다. (다만, 통상적으로 그 노름이 1이 아니게 정의한다.)

== 르장드르 다항식의 계산 및 표현 ==
르장드르 다항식은 [[점화식]]이나 선적분, [[생성함수 (수학)|생성 함수]] 등 여러 방법으로 표현할 수 있다.

=== 로드리게스 공식 ===
'''로드리게스 공식'''({{lang|en|Rodrigues’ formula}})은 르장드르 다항식의 일반식이며, 다음과 같다.
:<math>P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]. </math>

=== 점화식 ===
르장드르 다항식은 다음과 같은 [[점화식]]을 만족한다.
:<math>(k+1)P_{k+1} (x) - (2k+1) x P_k (x) - k P_{k-1} (x) = 0 \;</math>

=== 생성 함수 ===
르장드르 다항식은 다음과 같은 [[생성함수 (수학)|생성 함수]]를 가진다.
:<math>\frac1{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{n=0}^\infty P_n(x)t^n</math>.

=== 선적분을 통한 표현 ===
르장드르 다항식은 [[유수 (복소해석학)|유수]]적분을 통해 다음과 같은 적분 형태로 표현될 수 있다.
:<math>P_n(z)={1 \over2\pi i} \oint (1-2tz+t^2)^{-1\over 2}t^{-(n+1)}dt </math>
여기서 적분 경로는 원점을 중심으로 하는 임의의 반시계방향의 폐곡선이다.
== 같이 보기 ==
* [[가우스 구적법]]
{{위키공용분류}}
{{전거 통제}}

[[분류:직교 다항식]]
[[분류:다항식]]
[[분류:특수 초기하함수]]