르장드르의 구면삼각형 정리 문서 원본 보기

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[[기하학]]에서 '''르장드르의 구면삼각형 정리'''(Legendre's theorem on spherical triangles)의 [[구면삼각형|구형삼각형]](구면삼각형)에 대한 정리는 [[아드리앵마리 르장드르]](Adrien-Marie Legendre)의 이름을 따서 명명했다.

ABC를 작은 변 a , b , c 가있는 구면의 구형 삼각형이라고한다면, A' , B' , C'를 같은면이있는 평면 삼각형이라고 비교할 수 있다. 그렇다면 구면삼각형의 각도가 평면 삼각형의 대응 각도를 [[구면과잉]](spherical excess)의<ref>(The Project Gutenberg eBook of Spherical Trigonometry, by I. Todhunter,VIII AREA OF A SPHERICAL TRIANGLE. SPHERICAL EXCESS)http://www.gutenberg.org/files/19770/19770-pdf.pdf?session_id=70c3c9adf6c7f7405b6170750a145b9e21252bea</ref> 약 1/3만큼 초과한다 (구형과잉 또는 구면과잉은 세 각도의 합이 π를 초과하는 양)

[[파일:Spherical trigonometry legendre.svg|섬네일|400px|center]]

이 정리는 1800년경부터 20세기 중반까지 전통적 GPS 측지 측량 결과를 계산할 때 어려운 수치 작업을 간소화하는 데 매우 중요했다.

이 정리는 르장드르(Legendre,1787)가 [[미터]](DTambambre , 1798)의 정의에 사용된 [[프랑스원정대의 자오선 측정보고서]](French Geodesic Mission)를 보완하는 증거(1798 )를 제공 한 것으로 명시되었다. 르장드르는 그가 자신의 제공에도 불구하고 정리의 창시자라고 주장하지 않았다. 트로프케(Tropfke ,1903)는 그 방법이 당시 측량사들에 의해 일반적으로 사용되었고 페루 [[자오선]] [[호 (기하학)|호]] 계산을 위해 [[찰스 마리 드 라 콘다민|라 콘다민]] (La Condamine)이 1740년에 이미 사용했을지도 모른다고 언급했다.

[[알버트 지라드]](Albert Girard)의 [[지라드의 정리]](Girard's theorem)는 삼각형 E 의 [[구형 과잉]](spherical excess)이 영역Δ와 동일하므로 르장드르의 정리(Legendre's theorem)는 다음과 같이 쓰여질 수 있다고 기술한다.

::<math>
\begin{align}
A-A'\;\approx\; B-B'\;\approx\; C-C'\;\approx\;\frac13 E\;=\; \frac13\Delta,\qquad a,\;b,\;c\,\ll\, 1
\end{align}
</math>


작은 삼각형의 과잉영역은 매우 작다. 예를 들어 반경이 6371km 인 구형 지구상에 60km의 변이있는 정삼각형의 구형 삼각형을 생각해보면, 측면은 60/6371 = .0094 또는 약 10<sup>-2</sup> 라디안 (중심에서 0.57°의 각도를 나타냄)의 각도 거리에 해당한다. 그러한 작은 삼각형의 면적은 같은면을 가진 평면 정삼각형의 면적으로 잘 근사화된다 : 1/2a<sup>2</sup> sin (π/3) = 0.0000433 라디안 (8.9 "에 해당).

삼각형의 변이 180km를 초과 할 때, 초과분이 약 80"인 경우, 영역과 각도의 차이는 측의 4차항의 항으로 0.01"이하로 정정되어야한다.

::<math>\begin{align}
\Delta &=\Delta'\left( 1+\frac{a^2+b^2+c^2}{24} \right),\\
A&=A'+\frac{\Delta}{3}  +\frac {\Delta}{180}  \left( -2a^2+b^2+c^2 \right),\\
B&=B'+\frac{\Delta}{3}  +\frac {\Delta}{180}  \left({\quad a^2-2b^2+c^2} \right),\\
C&=C'+\frac{\Delta}{3}  +\frac {\Delta}{180}  \left({\quad a^2+b^2-2c^2} \right)
\end{align}</math>


(Δ'는 평면 삼각형의 면적)이 결과는 Buzengeiger (1818)에 의해 입증되었다. 확장 된 증거는 Osborne (2013) (부록 D13)에서 찾을 수 있다. 다른 결과는 Nádeník (2004)에 의해 조사되었다.

a , b , c 가 진정한 길이를 주 곡률 반경 ( Osborne (2013) 5 장 참조)의 곱의 제곱근으로 나누어서 정점의 중간 위도에서 정리하면 타원체로 확장될수있다 (구형 반지름 대신). [[가우스]](1828 , Art. 26-28)는보다 정확한 공식을 제시했다.

== 같이 보기 ==
* [[구면삼각법]]

==참고==
*{{인용|first=Karl Heribert Ignatz
|last=Buzengeiger
|title=Vergleichung zweier kleiner Dreiecke von gleichen Seiten, wovon das eine sphärisch, das andere eben ist
|year=1818
|journal=Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften
|volume= 6
|pages=264–270
|url=https://books.google.co.uk/books?id=GXUwAAAAYAAJ&pg=PA264#v=onepage&q&f=false
}}
*{{인용
|last=Clarke
|first=Alexander Ross
|year=1880
|title=Geodesy
|url=https://books.google.com/books?id=lfIoAAAAYAAJ
|publisher=Clarendon Press
|postscript=. Republished at [http://www.forgottenbooks.org/info/Geodesy_1000151390.php Forgotten Books].

}}
*{{서적 인용
|ref = {{harvid|Gauss|1828}}
|last = Gauss
|first = C. F.
|year = 1902
|origyear = 1828
|title = General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825
|publisher = Princeton Univ. Lib
|url = https://books.google.com/books?id=a1wTJR3kHwUC
|authorlink =카를 프리드리히 가우스
|postscript = .  English translation of [https://books.google.com/books?id=bX0AAAAAMAAJ&pg=PA3 ''Disquisitiones generales circa superficies curvas''] (Dieterich, Göttingen, 1828).
}}
*{{인용|first=Adrien-Marie
|last=Legendre
|authorlink=아드리앵마리 르장드르
|title=Mémoire sur les opérations trigonométriques, dont les résultats dépendant de la figure de la Terre
|year=1787
|page=7
|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6395708p
|others=Article &nbsp;VI [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6395708p/f7.zoom]}}
*{{인용|first=Adrien-Marie
|last=Legendre
|title=Méthode pour déterminer la longueur exacte du quart du méridien d’après les observations faites pour la mesure de l’arc compris entre Dunkerque et Barcelone
|year=1798
|pages=12–14 (Note&nbsp;III [http://www.e-rara.ch/zut/content/pageview/580472])
|url=http://www.e-rara.ch/zut/content/pageview/580461
}}
*{{인용
 |first       = Zbynek
 |last        = Nádeník
 |title       = Legendre theorem on spherical triangles
 |year        = 2004
 |publisher   = 
 |url         = http://www.vugtk.cz/odis/sborniky/sb2005/Sbornik_50_let_VUGTK/Part_1-Scientific_Contribution/2-Nadenik.pdf
 |url-status     = dead
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20140116131114/http://www.vugtk.cz/odis/sborniky/sb2005/Sbornik_50_let_VUGTK/Part_1-Scientific_Contribution/2-Nadenik.pdf
 |archivedate = 2014-01-16
 |df          = 
}}
*{{인용
 |first = Peter
 |last  = Osborne
 |title = The Mercator Projections
 |year  = 2013
 |url   = http://www.mercator99.webspace.virginmedia.com
|archive-url = https://web.archive.org/web/20130924093049/http://www.mercator99.webspace.virginmedia.com/
|url-status = dead
|archive-date = 2013-09-24
}}
*{{인용|first=Johannes
|last=Tropfke
|title= Geschichte der Elementar-Mathematik (Volume 2).
|year=1903
|page=[https://archive.org/stream/geschichtederel01tropgoog#page/n307 295]
|publisher=Verlag von Veit
|url=https://archive.org/stream/geschichtederel01tropgoog#page/n3
}}
*(Spherical Trigonometry, I. Todhunter)https://www.gutenberg.org/files/19770/19770-pdf.pdf

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:구면기하학]]
[[분류:구면삼각법]]
[[분류:기하학 정리]]