르베그 수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[위상수학]]에서, [[거리 공간]]의 [[열린 덮개]]의 '''르베그 수'''(Lebesgue數, {{llang|en|Lebesgue number}})는 [[열린 덮개]]의 섬세함을 측정하는 수이다. 구체적으로, 르베그 수보다 더 작은 지름을 갖는 집합은 [[열린 덮개]]의 한 원소에 속하게 된다. 르베그 수의 존재는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[거리 공간]]과 [[완비 거리 공간]] 사이에 있는 성질이다.

== 정의 ==
[[유사 거리 공간]] <math>(X,d)</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]] <math>\mathcal U</math>의 '''르베그 수'''는 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 <math>\delta>0</math>이다.
* 임의의 [[부분 집합]] <math>Y\subseteq X</math>에 대하여, <math>\operatorname{diam}Y<\delta</math>라면 <math>Y\subseteq U</math>인 <math>U\in\mathcal U</math>가 존재한다.
여기서
:<math>\operatorname{diam}Y = \sup\{d(x,y)\colon x,y \in Y\}</math>
는 [[유사 거리 공간]]의 [[지름]]이다.

== 성질 ==
=== 유일성 ===
[[유사 거리 공간]] <math>(X,d)</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]] <math>\mathcal U</math>의 르베그 수 <math>\delta</math>가 존재한다면, <math>\delta</math>보다 작은 양의 실수는 마찬가지로 <math>\mathcal U</math>의 르베그 수이다.

정의에 따라, [[유사 거리 공간]] <math>(X,d)</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]] <math>\mathcal U</math>의 르베그 수가 존재한다면, 그 최대 르베그 수가 존재하며, 이는 덮개의 불변량이다.

=== 존재 ===
'''르베그 수 보조정리'''(-數補助定理, {{llang|en|Lebesgue's number lemma}})에 따르면, [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[유사 거리 공간]]의 [[열린 덮개]]의 르베그 수는 항상 존재한다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[유사 거리 공간]] <math>(X,d)</math>의 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U</math>가 주어졌다고 하자. 콤팩트성에 따라 유한 부분 덮개
:<math>\{U_1,\dots,U_n\}\subseteq\mathcal U</math>
가 존재한다. 이제,
:<math>\delta=\min_{x\in X}\frac1n\sum_{i=1}^nd(x,X\setminus U_i)>0</math>
이 <math>\mathcal U</math>의 르베그 수임을 보이면 된다. (우변의 최솟값은 [[콤팩트 공간]]에 정의된 [[연속 함수]]에 대하여 취한 것이므로 반드시 존재하며, 양의 실수이다.) 임의의
:<math>Y\subseteq X</math>
:<math>\operatorname{diam}Y<\delta</math>
가 주어졌다고 하자. 임의의 <math>y_0\in Y</math>를 고르자. 그렇다면,
:<math>\frac1n\sum_{i=1}^nd(y_0,X\setminus U_i)\ge\delta</math>
이므로,
:<math>d(y_0,X\setminus U_i)\ge\delta</math>
인 <math>i\in\{1,\dots,n\}</math>이 존재한다. 임의의 <math>y\in Y</math>에 대하여,
:<math>d(y_0,y)\le\operatorname{diam}Y<\delta</math>
이므로, <math>y\in U_i</math>이다. 즉, <math>Y\subseteq U_i</math>이다.
</div></div>

[[유사 거리 공간]] <math>(X,d)</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 임의의 [[열린 덮개]]의 르베그 수가 존재한다.
* 임의의 [[거리 공간]] <math>(Y,d')</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>f</math>는 [[균등 연속 함수]]이다.
* 임의의 [[연속 함수]] <math>X\to\mathbb R</math>는 [[균등 연속 함수]]이다.
* 임의의 [[서로소 집합|서로소]] [[닫힌집합]] <math>A,B\subseteq X</math>에 대하여, <math>d(A,B)>0</math>
여기서
:<math>d(A,B)=\inf\{d(a,b)\colon a\in A,\;b\in B\}</math>
이다.

[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[유사 거리 공간]]이 첫 번째 조건을 만족시키는 것은 르베그 수 보조정리의 내용이다. [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[유사 거리 공간]]이 두 번째 조건을 만족시키는 것은 [[하이네-칸토어 정리]]이다.

[[유사 거리 공간]] <math>(X,d)</math>의 임의의 [[열린 덮개]]가 르베그 수를 갖는다면, <math>(X,d)</math>는 [[완비 거리 공간|완비 유사 거리 공간]]이다. 특히, [[하이네-보렐 정리]]에 따라, [[유사 거리 공간]] <math>(X,d)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[콤팩트 공간]]이다.
* [[완전 유계 공간]]이며, 임의의 [[열린 덮개]]의 르베그 수가 존재한다.

[[유사 거리 공간]] <math>(X,d)</math>의 임의의 [[열린 덮개]]가 르베그 수를 갖는다면, <math>X</math>의 [[유도 집합]] <math>X'</math>은 [[콤팩트 공간]]이다. 특히, 임의의 [[열린 덮개]]가 르베그 수를 갖는 [[자기 조밀 공간|자기 조밀]] [[유사 거리 공간]]은 [[콤팩트 공간]]이다.

== 예 ==
(표준적인 [[거리 공간]] 구조를 갖춘) 실수 [[닫힌구간]] <math>[a,b]\subsetneq\mathbb R</math>의, 유한 개의 [[열린구간]]들로 구성된 덮개
:<math>\mathcal U=\{(a_1,b_1),(a_2,b_2),\dots,(a_n,b_n)\}</math>
를 생각하자. 그렇다면,
:<math>\delta=\min\{|x-y|\colon x,y\in\{a_1,b_1,a_2,b_2,\dots,a_n,b_n\},\;x\ne y\}\in(0,\infty)</math>
는 <math>\mathcal U</math>의 르베그 수이다.
{{증명}}
각 <math>x\in[a,b]</math>에 대하여, <math>x\in(a_{i(x)},b_{i(x)})</math>인 <math>i(x)\in\{1,2,\dots,n\}</math>을 취하자. 그렇다면, 길이 <math>\delta</math> 미만의 구간
:<math>[x,y]\subset[a,b]</math>
:<math>y-x<\delta</math>
에 대하여, 만약
:<math>[x,y]\cap\{a_1,b_1,a_2,b_2,\dots,a_n,b_n\}=\varnothing</math>
이라면,
:<math>[x,y]\subset(a_{i(x)},b_{i(x)})</math>
이다. 반대로 만약
:<math>c\in[x,y]\cap\{a_1,b_1,a_2,b_2,\dots,a_n,b_n\}</math>
이라면,
:<math>[x,y]\subset(a_{i(c)},b_{i(c)})</math>
이다.
{{증명 끝}}

=== 콤팩트 공간이 아닌, 모든 열린 덮개의 르베그 수가 존재하는 거리 공간 ===
[[이산 거리 공간]] <math>(X,d_{\operatorname{disc}})</math>에서, 모든 [[열린 덮개]]는 르베그 수를 갖지만, 무한 이산 공간은 [[콤팩트 공간]]이 아니다.

=== 르베그 수가 존재하지 않는 열린 덮개가 존재하는 완비 거리 공간 ===
[[실수선]] <math>\mathbb R</math> 위의 표준적인 [[거리 함수]]는 [[완비 거리 공간]]을 이룬다. 그러나,
:<math>\{(-\infty,1)\}\cup\left\{\left(\sqrt n,\sqrt{n+2}\right)\colon n\in\mathbb Z_{\ge0}\right\}</math>
는 [[열린 덮개]]이지만 르베그 수를 갖지 않는다.

== 응용 ==
르베그 수 보조정리는 다음과 같은 문제들을 풀 때 사용될 수 있다.
* [[르베그 측도]]가 [[측도]]의 성질을 만족하는 것을 보일 때<ref>Frank Jones (2001), ''Lebesgue Integration on Euclidean Space'', Jones and Bartlett mathematics</ref>{{rp|32}}
* [[하이네-칸토어 정리]]의 증명
* [[점렬 콤팩트 공간|점렬 콤팩트]] [[거리 공간]]이 [[콤팩트 공간]]임을 보일 때

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lebesgue number}}
* {{플래닛매스|urlname=lebesguenumberlemma|title=Lebesgue number lemma}}
* {{플래닛매스|urlname=proofoflebesguenumberlemma|title=Proof of Lebesgue number lemma}}
* {{proofwiki|id=Definition:Lebesgue Number|제목=Definition: Lebesgue number}}
* {{proofwiki|id=Lebesgue's Number Lemma|제목=Lebesgue's number lemma}}
* {{proofwiki|id=Open Cover may not have Lebesgue Number|제목=Open cover may not have Lebesgue number}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:보조정리]]
[[분류:위상수학 정리]]