르베그 덮개 차원 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''르베그 덮개 차원'''(-次元, {{llang|en|Lebesgue covering dimension}}) 또는 '''르베그 피복 차원'''(-被覆次元) 또는 '''위상적 차원'''({{llang|en|topological dimension}})은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 얼마나 ‘효율적으로’ [[덮개 (위상수학)|덮을]] 수 있는지를 측정하는 정수 값 불변량이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''르베그 덮개 차원''' <math>\dim X</math>는 다음 조건을 만족시키는 최소의 [[정수]] <math>n\ge-1</math>이다.
* 임의의 유한 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U</math>에 대하여, <math>\max_{x\in X}|\{C\in\mathcal C\colon x\in C\}|\le n+1</math>인 <math>\mathcal U</math>의 열린 [[세분 (위상수학)|세분]] <math>\mathcal C</math>가 존재한다.
만약 위 조건을 만족시키는 정수가 없다면, <math>\dim X=\infty</math>로 정의한다. 위 정의에서, “[[유한 집합|유한]] [[열린 덮개]]”를 “[[국소 유한 덮개|국소 유한]] [[열린 덮개]]”로 대체하여도 원래의 정의와 [[동치]]이다.<ref name="Ostrand" />{{rp|Theorem 1}}

== 성질 ==
[[단체 복합체]]의 경우, 르베그 덮개 차원과 [[아핀 차원]]은 일치한다. ('''르베그 덮개 정리''')

임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 르베그 덮개 차원은 [[큰 귀납적 차원]]보다 적거나 같다.

[[정규 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 르베그 덮개 차원 <math>\dim X\le n</math>
* <math>X</math>의 임의의 [[닫힌 집합]] <math>A\subset X</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon A\to S^n </math>에 대하여, <math>f</math>의 <math>X</math>에 대한 확장 <math>g\colon X\to S^n </math>이 존재한다. (<math>S^n</math>은 [[초구]])

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 [[부분 집합]] <math>Y\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>Y</math>가 [[닫힌집합]]이거나,<ref name="Charalambous">{{서적 인용
|성1=Charalambous
|이름1=Michael G.
|제목=Dimension theory. A selection of theorems and counterexamples
|언어=en
|총서=Atlantis Studies in Mathematics
|권=7
|출판사=Springer
|위치=Cham
|날짜=2019
|isbn=978-3-030-22231-4
|issn=1875-7634
|doi=10.1007/978-3-030-22232-1
|mr=3970309
|zbl=1471.54001
}}</ref>{{rp|11, Proposition 2.11}} <math>X</math>가 [[완전 정규 공간]]이라면, 다음이 성립한다.
:<math>\dim Y\le\dim X</math>

[[정규 공간]] <math>X</math> 및 [[부분 집합]] <math>Y,Z\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>X=Y\cup Z</math>라면, 다음이 성립한다.<ref name="Charalambous" />{{rp|25, Proposition 4.8}} (르베그 덮개 차원에 대한 '''우리손 부등식''')
:<math>\dim(Y\cup Z)\le\dim Y+\dim Z+1</math>

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X,Y</math>가 다음 조건들 가운데 하나를 만족시킨다면, 부등식
:<math>\dim(X\times Y)\le\dim X+\dim Y</math>
이 성립한다.
* <math>X,Y</math>는 [[콤팩트 공간]]이다.<ref name="Ostrand">{{저널 인용
|성=Ostrand
|이름=Phillip A.
|제목=Covering dimension in general spaces
|언어=en
|저널=General Topology and its Applications
|권=1
|호=3
|쪽=209–221
|날짜=1971
|issn=0016-660X
|doi=10.1016/0016-660X(71)90093-6
|mr=0288741
|zbl=0232.54044
}}</ref>{{rp|214, Theorem 4}}
* <math>X</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이며, <math>Y</math>는 [[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]]이며, <math>X\times Y</math>는 [[정규 공간]]이다.<ref name="EngelkingTheoryOf" />{{rp|208, Theorem 3.4.6}}
* <math>X</math>는 [[거리화 가능 공간]]이며, <math>Y</math>는 [[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]]이며, <math>X\times Y</math>는 [[정규 공간]]이다.<ref name="EngelkingTheoryOf" />{{rp|209–210, Theorem 3.4.9}}
다음 조건은 두 번째 조건을 함의하므로, 위 부등식을 함의한다.
* <math>X</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이며, <math>Y</math>는 [[파라콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이다.<ref name="EngelkingTheoryOf" />{{rp|207, Theorem 3.4.4}}
다음 조건은 세 번째 조건을 함의하므로, 부등식을 함의한다.
* <math>X,Y</math>는 [[거리화 가능 공간]]이다.<ref name="Ostrand" />{{rp|219, Theorem 8}}

[[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>와 그 [[스톤-체흐 콤팩트화]]의 르베그 덮개 차원은 일치한다.<ref name="EngelkingTheoryOf">{{서적 인용
|성=Engelking
|이름=Ryszard
|제목=Theory of dimensions finite and infinite
|언어=en
|총서=Sigma Series in Pure Mathematics
|권=10
|출판사=Lemgo
|위치=Heldermann Verlag
|날짜=1995
|isbn=3-88538-010-2
|mr=1363947
|zbl=0872.54002
}}</ref>{{rp|182, Exercise 3.1.J}}
:<math>\dim\beta X=\dim X</math>

== 예 ==
<math>n</math>차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 르베그 덮개 차원은 <math>n</math>이다. 보다 일반적으로, 임의의 <math>n</math>차원 [[다양체]]의 르베그 덮개 차원은 <math>n</math>이다.

[[공집합]]이 아닌 [[이산 공간]] 및 [[비이산 공간]]의 르베그 덮개 차원은 0이다.

르베그 덮개 차원이 <math>-1</math>인 공간은 [[공집합]]밖에 없다.

[[조르겐프라이 직선]] <math>S</math>의 르베그 덮개 차원은 0이다. 그러나 [[조르겐프라이 평면]] <math>S\times S</math>의 르베그 덮개 차원은 <math>\infty</math>이다.<ref name="Sipacheva">{{arXiv 인용
|성=Sipacheva
|이름=Ol'ga
|제목=The covering dimension of the Sorgenfrey plane
|언어=en
|날짜=2021
|doi=10.48550/arXiv.2110.08867
|arxiv=2110.08867
}}</ref>{{rp|2, Theorem 1}}
:<math>\dim S=0</math>
:<math>\dim S\times S=\infty</math>

== 역사 ==
[[앙리 르베그]]의 연구 결과에 바탕하여 [[체코]]의 [[수학자]] [[에두아르트 체흐]]가 처음으로 공식적으로 도입하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* Karl Menger, ''General Spaces and Cartesian Spaces'', (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) {{ISBN|0-201-58701-7}}
* {{서적 인용|이름=Karl|성=Menger|제목=Dimensionstheorie|날짜=1928|출판사=B. G. Teubner|위치=[[라이프치히]]|언어=de}}
* {{서적 인용|이름=A. R.|성=Pears|제목=Dimension Theory of General Spaces|url=https://archive.org/details/dimensiontheoryo0000pear|날짜=1975|출판사=Cambridge University Press|isbn= 0-521-20515-8|언어=en}}
* V.V. Fedorchuk, ''The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I'', (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin {{ISBN|3-540-18178-4}}.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lebesgue dimension}}
* {{매스월드|id=LebesgueDimension|title=Lebesgue dimension}}

== 같이 보기 ==
* [[귀납적 차원]]

{{프랙털}}
{{차원}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상 공간의 성질]]
[[분류:차원]]
[[분류:차원론]]