르베그-스틸티어스 측도 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[측도론]]에서 '''르베그-스틸티어스 측도'''(Lebesgue-Stieltjes測度, {{llang|en|Lebesgue–Stieltjes measure}})는 어떤 함수의 ‘도함수’에 해당하는 [[측도]]이다. 이를 사용한 적분을 '''르베그-스틸티어스 적분'''(Lebesgue-Stieltjes積分, {{llang|en|Lebesgue–Stieltjes integral}})이라고 한다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[증가 함수]] <math>g\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
그렇다면, 다음과 같은 [[외측도]] <math>\mu_g</math>를 정의할 수 있다.
:<math>\mu_g(S)=\inf\left\{\sum_{(c,d]\in\mathcal I}(g(d^+)-g(c^+))\colon \mathcal I\in\mathcal P_{\le\aleph_0}(\mathcal C),\;S\subseteq\bigcup\mathcal I\right\}\qquad(S\in\mathcal B([a,b]))</math>
여기서
:<math>\mathcal C=\left\{(c,d]\colon c,d\in\mathbb R,\;c<d\right\}</math>
는 실수 반(半)열린구간들의 [[집합족]]이며,
:<math>\mathcal P_{\le\aleph_0}(\mathcal C)=\left\{\mathcal I\subseteq\mathcal C\colon|\mathcal I|\le\aleph_0\right\}</math>
는 <math>[a,b]</math> 속의 [[가산 집합|가산]] 개의 반(半)열린구간들의 [[집합족]]들의 모임이며,
:<math>g(x^+)=\lim_{\epsilon\to0^+}g(x+\epsilon)</math>
이다.
<math>\mathcal C</math>로 생성되는 [[시그마 대수]] <Math>\sigma(\mathcal C)=\mathcal B(\mathbb R)</math>는 실수선의 [[보렐 시그마 대수]]이다. [[카라테오도리 확장 정리]]에 의하여, 이는 [[보렐 시그마 대수]]에 제한될 경우 [[측도]]를 이루며, 이를 <math>g</math>의 '''르베그-스틸티어스 측도'''라고 한다.<ref name="AL">{{서적 인용
|성1=Athreya
|이름1=Krishna B.
|성2=Lahiri
|이름2=Soumendra N.
|제목=Measure Theory and Probability Theory
|언어=en
|총서=Springer Texts in Statistics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2006
|isbn=978-0-387-32903-1
|issn=1431-875X
|doi=10.1007/978-0-387-35434-7
|zbl=1125.60001
}}</ref>{{rp|26, Definition 1.3.7}} 르베그-스틸티어스 측도에 대한 적분은 흔히 다음과 같이 표기한다.
:<math>\int_{\mathbb R}f\;\mathrm d\mu_g=\int_{\mathbb R}f\;\mathrm dg</math>

=== 고차원 르베그-스틸티어스 측도 ===
우선, 임의의 집합 <math>X</math>에 대하여, 정수 계수 형식적 합의 공간
:<math>\operatorname{Span}_{\mathbb Z}(X^n)=k_1(x_{1,1},x_{2,1},\dots,x_{n,1})
+k_2(x_{1,2},x_{2,2},\dots,x_{n,2})+\cdots+k_p(x_{1,1},x_{2,1},\dots,x_{n,p})\qquad(x_{i,j}\in X,\;k_j\in\mathbb Z)</math>
을 생각하자. 임의의 함수 <math>g\colon X^n\to\mathbb R</math>를 위 공간으로 다음과 같이 확장할 수 있다.
:<math>\hat g\colon \operatorname{Span}_{\mathbb Z}(X^n)\to\mathbb R</math>
:<math>\hat g\colon \sum_{i=1}^pk_i\vec x_i\mapsto \sum_{i=1}^pk_ig(\vec x_i)</math>
이 위에 다음과 같은 <math>\mathbb Z</math>-선형 연산자를 정의하자.
:<math>\Delta_{i;b_i}\colon \operatorname{Span}_{\mathbb Z}(X^n)\to \operatorname{Span}_{\mathbb Z}(X^n)</math>
:<math>\Delta_{i;b_i}\colon  (a_1,a_2,\dotsc,a_n)\mapsto (a_1,a_2,\dotsc,a_{i-1},b_i,a_{i+1},\dots,a_n)-\vec a</math>
이제, 임의의 <math>\vec b\in X^n</math>에 대하여 다음과 같은 <math>\mathbb Z</math>-선형 연산자를 정의하자.
:<math>\Delta_{\vec b}\colon \operatorname{Span}_{\mathbb Z}(X^n)\to \operatorname{Span}_{\mathbb Z}(X^n)</math>
:<math>\Delta_{\vec b}=\Delta_{1;b_1}\circ\Delta_{2;b_2}\circ\dotsb\circ\Delta_{n;b_n}</math>

함수
:<math>g\colon\mathbb R^n\to\mathbb R</math>
가 임의의 <math>\vec a,\vec b\in\mathbb R^n</math>에 대하여 (<math>a_i\le b_i\qquad\forall 1\le i\le n</math>) 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''분포 함수'''({{llang|en|distribution function}})라고 하자.
:<math>g(\vec b)\ge g(\vec a)</math>
:<math>\hat g\left(\Delta_{\vec b}(\vec a)\right)\ge0</math>
이 경우, 위와 같은 <math>\vec a,\vec b\in\mathbb R^n</math>에 대하여 다음과 같은 (외)측도를 정의할 수 있다.
:<math>\mu_g\left(\prod_{i=1}^n(a_i,b_i]\right)=\lim_{\vec\epsilon\to0^+}\hat g\left(\Delta_{\vec b+\vec\epsilon}(\vec a+\vec\epsilon)\right)</math>
이를 통해 마찬가지로 [[보렐 시그마 대수]] <math>\mathcal B(\mathbb R^n)</math> 위에 '''르베그-스틸티어스 측도'''
:<math>\mu_g\colon\mathcal B(\mathbb R^n)\to[0,\infty]</math>
를 정의할 수 있다.<ref name="AL"/>{{rp|27–28, §1.3.3}}

== 예 ==
[[항등 함수]] <math>\mathbb R\to\mathbb R</math>, <math>x\mapsto x</math>의 르베그-스틸티어스 측도는 '''[[르베그 측도]]'''라고 한다.

함수
:<math>g\colon x\mapsto\begin{cases}
0&x\le0\\
x&x>0
\end{cases}</math>
를 생각하자. 이에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다.
:<math>\mu_g(S)=\mu_g(S\cap[0,\infty))</math>

함수
:<math>g\colon x\mapsto\alpha x</math>
를 생각하자 (<math>\alpha\ge0</math>). 이에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다.
:<math>\mu_g(S)=\alpha\nu_{\text{L}}(S)</math>
여기서 <math>\nu_{\text{L}}</math>는 [[르베그 측도]]이다.

== 성질 ==
정의에 따라, 임의의 [[유계 집합]]의 르베그-스틸티어스 측도는 유한하다.

== 역사 ==
[[앙리 르베그]]와 [[토마스 요아너스 스틸티어스]]의 이름을 땄다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lebesgue-Stieltjes integral}}
* {{매스월드|id=Lebesgue-StieltjesMeasure|title=Lebesgue-Stieltjes measure}}
* {{웹 인용|url=https://mathprelims.wordpress.com/2008/10/27/the-lebesgue-stieltjes-measure/|제목=The Lebesgue-Stieltjes Measure |웹사이트=Mathematics Prelims|날짜=2008-10-27|이름=C.|성=Johnson|언어=en}}

[[분류:측도]]