르메트르-톨먼 계량 문서 원본 보기

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'''르메트르-톨먼 계량'''(Lemaître-Tolman metric)은 '''르메트르-톨먼-본디 계량'''(Lemaître-Tolman-Bondi metric) 또는 '''톨먼 계량'''이라고도 하는데, 물리학에서 [[아인슈타인 방정식의 엄밀해|아인슈타인 장 방정식의 엄밀해]]에 기초하는 [[준 리만 다양체|로런츠 계량]]의 하나이다.
이 해에 의해서 [[균질성|균질]]하지 않은 [[등방성]] [[우주팽창|팽창]] 또는 수축하는 [[우주]]가 설명되므로,<ref name="Tolman">{{저널 인용|제목=Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models|저널=Proc. Natl. Acad. Sci.|성=Tolman|이름=Richard C.|저자링크=Richard C. Tolman|날짜=1934|권=20|호=3|출판사=National Academy of Sciences of the USA|쪽=169–76|bibcode=1934PNAS...20..169T|doi=10.1073/pnas.20.3.169|pmc=1076370|pmid=16587869}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=''Inhomogeneous Cosmological Models''|성=Krasinski, Andrzej|연도=1997|판=1st|출판사=Cambridge University Press|isbn=0-521-48180-5}}</ref> [[우주론]]에서 [[우주팽창|우주 팽창]]을 모델링하기 위해 표준 [[프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량]]의 대안으로 사용되기도 한다.<ref>{{저널 인용|제목=The Local Perspective on the Hubble Tension: Local Structure Does Not Impact Measurement of the Hubble Constant|저널=The Astrophysical Journal|성=W. D'Arcy Kenworthy|성2=Dan Scolnic|날짜=24 April 2019|권=875|호=2|쪽=145|arxiv=1901.08681|bibcode=2019ApJ...875..145K|doi=10.3847/1538-4357/ab0ebf|성3=[[Adam Riess]]}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Do the observational data favor a local void?|저널=Physical Review D|성=Rong-Gen Cai|성2=Jia-Feng Ding|날짜=22 June 2021|권=103|호=12|쪽=123539|arxiv=2012.08292|bibcode=2021PhRvD.103l3539C|doi=10.1103/PhysRevD.103.123539|성3=Zong-Kuan Guo|성4=Shao-Jiang Wang|성5=Wang-Wei Yu}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Exploring the evidence for a large local void with supernovae Ia data|저널=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society|성=Vladimir V. Luković|성2=Balakrishna S. Haridasu|날짜=4 November 2019|권=491|호=2|arxiv=1907.11219|doi=10.1093/mnras/stz3070|성3=Nicola Vittorio}}</ref> 또한 [[우주의 가속 팽창]]을 설명하기 위해 물질의 [[프랙탈]] 분포를 갖는 우주를 모델링하는 데에도 사용되었다.<ref>{{저널 인용|제목=Fractal universe and cosmic acceleration in a Lemaître–Tolman–Bondi scenario|저널=Classical and Quantum Gravity|성=Leonardo Cosmai|성2=Giuseppe Fanizza|날짜=28 January 2019|권=36|호=4|쪽=045007|arxiv=1810.06318|bibcode=2019CQGra..36d5007C|doi=10.1088/1361-6382/aae8f7|성3=Francesco Sylos Labini|성4=Luciano Pietronero|성5=Luigi Tedesco}}</ref>

이 해는 1933년 [[조르주 르메트르]]<ref>{{저널 인용|제목=l'Universe en expansion|저널=Annales de la Société Scientifique de Bruxelles|성=Lemaître, G.|연도=1933|권=53|쪽=51–85}}</ref>와 1934년 [[리처드 C. 톨먼|리처드 톨먼]]에 의해 최초로 구해졌는데,<ref name="Tolman" /> 그 후 1947년 [[헤르만 본디]]에 의해 연구되었다.<ref>{{저널 인용|제목=Spherically symmetrical models in general relativity|저널=[[Monthly Notices of the Royal Astronomical Society]]|성=Bondi|이름=Hermann|저자링크=Hermann Bondi|날짜=1947|권=107|호=5–6|쪽=410–425|bibcode=1947MNRAS.107..410B|doi=10.1093/mnras/107.5-6.410}}</ref>

== 상세 ==
{{일반상대론|solutions}}
<math>g_{00}=1</math> 그리고 <math>g_{0\alpha}=0</math>인 동기된 기준계에서 시간 좌표 <math>x^0=t</math> (<math>G=c=1</math> 로 설정됨) 역시 [[고유 시간]] <math>\tau=\sqrt{g_{00}} x^0</math> 이고, 모든 지점의 시계는 동기화 될 수 있다. 압력이 0인 먼지와 같은 매체의 경우, 먼지 입자는 측지선을 따라 자유롭게 이동하므로 동기된 프레임은 4가지 속도의 구성 요소  <math>u^i=dx^i/ds</math> 가 <math>u^0=1,\,u^\alpha=0</math> 로 되는 공변 프레임이기도 하다.

장 방정식의 해는<ref>Landau, L. D. (Ed.). (2013). The classical theory of fields (Vol. 2). Elsevier.</ref> 아래와 같이,

: <math>ds^2 = d\tau^2 - e^{\lambda(\tau,R)} dR^2 - r^2(\tau,R) (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)</math>

인데, 여기서 <math>r</math> 은 반경이  <math>r</math> 인 구의 표면적이  <math>4\pi r^2</math> 이 된다는 의미에서 '반경' 또는 '[[광도 거리]]'이며, <math>R</math> 은 라그랑지안 좌표로 해석되며  <math>1+f>0</math> 그리고 <math>F>0</math> 인 조건 하에서

:<math>e^\lambda = \frac{r'^2}{1+f(R)}, \quad \left(\frac{\partial r}{\partial \tau}\right)^2 = f(R) + \frac{F(R)}{r}, \quad 4\pi r^2\rho = \frac{F'(R)}{2r'}</math>

이 된다. 여기서 <math>f(R)</math> 및  <math>F(R)</math> 은 임의의 함수이고 <math>\rho</math> 는 물질의 밀도이다.

또한 <math>F'>0</math> 그리고 <math>r'>0</math> 를 가정하면 이러한 운동 중에 물질 입자가 교차하는 경우가 제외된다. 입자 각각에는 <math>R</math>, 함수 <math>r(\tau,R)</math>가 주어지고, 그 시간 미분에 의하여 그 운동 법칙과 방사 방향의 속도가 주어진다. 위에서 설명한 해의 흥미로운 특징으로는  <math>f(R)</math> 및 <math>F(R)</math> 이 <math>R</math>의 함수로 도시되면,  <math>R\in [0,R_0]</math> 범위에서 도시된 이러한 함수의 형태가 <math>R>R_0</math> 에서 도시되는 함수의 모양과 무관하다는 점이다 . 이러한 예측은 뉴턴의 이론과 명확히 유사하다.

여기서 <math>R=R_0</math> 인 구의 내부 총 질량은

: <math>m = 4\pi \int_0^{r(\tau,R_0)} \rho r^2 dr=4\pi \int_0^{R_0} \rho r' r^2 dR= \frac{F(R_0)}{2}</math>

이 되는데, 이 식은  [[슈바르츠실트 반지름|슈바르츠실트 반경]]이  <math>r_s=2m=F(R_0)</math> 로 주어진다는 것을 의미한다.

함수 <math>r(\tau,R)</math> 은 적분에 의하여 구할 수도 있는데, 매개변수  <math>\eta</math> 를 가지는 매개변수 형식으로는 아래의 세 가지의 해,

: <math>f > 0:~~~~~~~~ r = \frac{F}{2f}(\cosh\eta-1), \quad \tau_0 -\tau = \frac{F}{2f^{3/2}}(\sinh\eta-\eta),</math>
: <math>f < 0:~~~~~~~~ r = \frac{F}{-2f}(1-\cosh\eta), \quad \tau_0 -\tau = \frac{F}{2(-f)^{3/2}}(\eta-\sinh\eta)</math>
: <math>f = 0:~~~~~~~~ r = \left(\frac{9F}{4}\right)^{1/3}(\tau_0-\tau)^{2/3}
</math>

가 가능한데, 여기서 <math>\tau_0(R)</math> 가 또 다른 임의의 함수로 등장한다. 그러나 우리는 중심 대칭의 물질 분포가 최대 두 가지 함수, 즉 밀도 분포와 물질의 지름방향 속도로 설명될 수 있다는 것을 알고 있는데, 이는 세 가지 함수 <math>f,F,\tau_0</math> 중에서 단 2개만이 독립이라는 것을 의미한다. 사실 라그랑지 좌표 <math>R</math> 을 특별히 선택하지 않았고 여전히 임의의 변환을 적용할 수 있으므로, 두개의 함수만이 임의적이라는 것을 알 수 있다.<ref>Zel’dovich, Y. B., & Novikov, I. D. (2014). Stars and relativity. Courier Corporation.</ref> 먼지와 같은 매체의 경우에는  <math>r=r(\tau)</math> 그리고 독립적인 <math>R</math>이 되는 또다른 해가 있지만, 이러한 해는 유한한 물체의 붕괴에 해당하지는 않는다.<ref>Ruban, V. A. (1969). Spherically symmetric T-models in the general theory of relativity. Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics, 29.</ref>
=== 슈바르츠실트 해 ===
<math>F=r_s=</math> const. 이면, <math>\rho=0</math> 가 되고, 따라서 해는 중앙에 점 질량이 있는 빈 공간에 해당한다. 추가로 <math>f=0</math> 그리고 <math>\tau_0=R</math>로 한정하면, 이 해는 르메트르 좌표로 표현된 [[슈바르츠실트 해]]로 환원된다.

=== 중력붕괴 ===
중력 붕괴는  <math>\tau</math> 가 <math>\tau_0'>0</math>이면서 <math>\tau_0(R)</math> 에 도달하면 발생한다. <math>\tau=\tau_0(R)</math> 일 때는 라그랑주 좌표 <math>R</math>로 표시되는 물질의 중심점 도달에 해당한다.  <math>\tau\rightarrow \tau_0(R)</math> 가 되면 세 가지의 모든 경우에서 그 점근적 거동은 아래와 같이

<math>r \approx \left(\frac{9F}{4}\right)^{1/3}(\tau_0-\tau)^{2/3}, \quad e^{\lambda/2} \approx \left(\frac{2F}{3}\right)^{1/3} \frac{\tau_0'}{\sqrt{1+f}} (\tau_0-\tau)^{-1/3}, \quad 4\pi \rho \approx \frac{F'}{3F\tau_0'(\tau_0-\tau)}</math>

로 주어지며, 여기서 처음 두 관계식은 공변계에서 모든 지름방향의 거리가 무한대에 가까워지는 경향이 있고 접선 거리가  <math>\tau-\tau_0</math>처럼 0에 접근한다는 것을 나타낸다. 반면에 세 번째 관계식은 물질 밀도가  <math>1/(\tau_0-\tau)</math>와 같이 증가함을 보여준다. <math>\tau_0(R)=</math> 상수이어서 모든 물질 입자의 붕괴 시간이 동일한 특별한 경우에는, 그 점근적 거동은 상이하여,

: <math>r \approx \left(\frac{9F}{3}\right)^{1/3}(\tau_0-\tau)^{2/3}, \quad e^{\lambda/2} \approx \left(\frac{2}{3}\right)^{1/3} \frac{F'}{2F^{2/3}\sqrt{1+f}} (\tau_0-\tau)^{2/3}, \quad 4\pi \rho \approx \frac{2}{3(\tau_0-\tau)^2}</math>

로 된다.

여기서 접선 거리와 지름 거리 모두  <math>(\tau_0-\tau)^{2/3}</math>와 같이 0이 되는데, 반면에 물질 밀도는  <math>1/(\tau_0-\tau)^2</math> 와 같이 증가하게 된다.

== 같이 보기 ==
* [[르메트르 좌표]]
* [[일반상대론의 수학적 공식화 개론|일반 상대성 이론의 수학 입문]]
* [[에너지-운동량 텐서|스트레스-에너지 텐서]]
* [[계량 텐서]](일반 상대성 이론)
* [[상대론적 각운동량]]
* [[불균일 우주론]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{상대론}}

[[분류:일반 상대성 이론의 엄밀해]]
[[분류:중력]]
[[분류:일반 상대성이론]]
[[분류:시공간]]
[[분류:물리우주론]]