르레 스펙트럼 열 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[층 (수학)|층]] 이론에서, '''르레 스펙트럼 열'''(Leray spectrum列, {{llang|en|Leray spectral sequence}})은 [[층 코호몰로지]]를 그 직상의 [[층 코호몰로지]]로부터 계산하는 [[스펙트럼 열]]이다. '''세르 스펙트럼 열'''(Serre spectrum列, {{llang|en|Serre spectral sequence}})은 [[세르 올뭉치]]에 대한, [[층 코호몰로지]]가 단순히 [[특이 코호몰로지]]가 되는, 르레 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

== 정의 ==
'''르레 스펙트럼 열'''({{llang|en|Leray spectral sequence}})은 다음과 같은 두 [[왼쪽 완전 함자]]에 대한 [[그로텐디크 스펙트럼 열]]이다.<ref name="Leray1">{{저널 인용 | last=Leray | first=Jean | 저자링크=장 르레 | title=L’anneau d’homologie d’une représentation | 날짜=1946 | journal=Les Comptes rendus de l'Académie des science | volume=222 | pages=1366–1368|zbl=0060.40801|언어=fr}}</ref><ref name="Leray2">{{저널 인용 | last=Leray | first=Jean | 저자링크=장 르레 | title=Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation | 날짜=1946 | journal=Les Comptes rendus de l'Académie des science | volume=222 | pages=1419–1422|zbl=0060.40802|언어=fr}}</ref>
:<math>\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\xrightarrow{f_*}\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})\xrightarrow{\Gamma_X}\operatorname{Ab}</math>
여기서 <math>f_*</math>는 위상 공간 사이의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 의하여 유도되는 [[층 (수학)|층]]의 직상이며, <math>\Gamma_X</math>는 층의 대역 단면 함자 (즉, [[한원소 공간]] 위의 층 범주 <math>\operatorname{Sh}(\{\bullet\},\operatorname{Ab})\simeq\operatorname{Ab}</math>로의 직상)이다. 층의 직상 <math>f_*\colon\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})</math>은 [[완전 함자]]인 [[왼쪽 수반 함자]]인 층 역상
:<math>f^*\colon\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})</math>
:<math>f^*\dashv f_*</math>
을 가지므로, 직상 <math>f_*</math>은 [[단사층]]을 [[단사층]]에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.

르레 스펙트럼 열은 구체적으로 다음과 같다.
:<math>E^{p,q}_2(\mathcal F)=\operatorname H^p(Y;\operatorname R^qf_*\mathcal F)\Rightarrow\operatorname H^{p+q}(X;\mathcal F)</math>
여기서 <math>\operatorname H^\bullet(-;-)</math>은 [[층 코호몰로지]]이다. 이를 사용하여 <math>X</math> 위의 [[층 코호몰로지]]를 <math>Y</math> 위의 층 코호몰로지로서 계산할 수 있다.

=== 세르 스펙트럼 열 ===
르레 스펙트럼 열의 특수한 경우로, <math>f\colon X\to Y</math>가 올이 <math>F</math>인 [[세르 올뭉치]]라고 하고, <math>\mathcal F=\underline{G}</math>가 <math>X</math> 위의, [[아벨 군]] <math>G</math> 값의 [[상수층]]이라고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
* <math>Y</math>는 [[경로 연결 공간|경로 연결]] [[CW 복합체]]이다.
* [[기본군]] <math>\pi_1(Y)</math>는 <math>\operatorname H^\bullet(Y;G)</math> 위에 자명하게 [[군의 작용|작용]]한다.
그렇다면
:<math>\operatorname R^qf_*\mathcal F=\underline{\operatorname H^q(F;G)}</math>
가 된다. 즉, <math>\operatorname R^qf_*\mathcal F</math>는 올의 코호몰로지 값의 [[상수층]]이다. 따라서, 르레 스펙트럼 열은 다음과 같다.<ref name="Hatcher">{{서적 인용|이름=A.|성=Hatcher|url=https://www.math.cornell.edu/~hatcher/SSAT/SSATpage.html|제목=Spectral Sequences in Algebraic Topology|언어=en}}</ref>{{rp|8, Theorem 1.3}}
:<math>E^{p,q}_2=\operatorname H^p\left(Y;\operatorname H^q(F;G)\right)\Rightarrow\operatorname H^{p+q}(X;G)</math>
여기서 <math>\operatorname H</math>는 [[특이 코호몰로지]]이다. 이를 '''세르 스펙트럼 열'''({{llang|en|Serre spectral sequence}})이라고 한다.

== 예 ==
=== 고리 공간 ===
양의 정수 <math>n>0</math>이 주어졌다고 하자. 임의로 밑점이 부여된 [[초구]] <math>(\mathbb S^n,\bullet_{\mathbb S^n})</math>에 대하여, 경로 공간 [[올뭉치]]
:<math>\Omega\mathbb S^n\hookrightarrow\mathcal P\mathbb S^n\twoheadrightarrow\mathbb S^n</math>
를 생각하자. (<math>n=0</math>인 경우, 0차원 [[초구]]는 [[경로 연결 공간]]이 아니므로 이는 [[올뭉치]]를 이루지 않는다.) 여기서 <math>\Omega</math>는 [[고리 공간]]이며, <math>\mathcal P</math>는 밑점에서 시작하는 (그러나 임의의 점에서 끝날 수 있는) [[경로 (위상수학)|경로]]들의 공간이다.

이 경우, 호몰로지 세르 스펙트럼 열은 다음과 같다.
:<math>E^2_{p,q} = \operatorname H_p(\mathbb S^n; \operatorname H_q(\Omega \mathbb S^n))</math>
<math>\Omega\mathbb S^n</math>은 [[경로 연결 공간]]이므로, <math>q=0</math>일 경우
:<math>E^2_{p,0}=\operatorname H_p(\mathbb S^n;\mathbb Z)=\begin{cases}0&p\ne 0,n\\\mathbb Z&p=0,n\end{cases}</math>
이다. 특히, 모든 쪽에서 0이 아닐 수 있는 유일한 열은 <math>p=0</math> 및 <math>p=n</math> 밖에 없다.

경로 공간은 (밑점에서의 [[상수 함수]]로) [[축약 가능 공간]]이므로,
:<math>E^\infty_{p,q}=\begin{cases}\mathbb Z&p=q=0\\0&p\ne0\lor q\ne0\end{cases}</math>
이다. 따라서, 둘째 쪽에 있는 <math>E^2_{n,0}=\mathbb Z</math> 성분이 어떤 쪽에서 상쇄되어야만 한다. 성분이 0이 아닌 열은 <math>p=0</math> 및 <math>p=n</math>밖에 없으므로, <math>E^2_{n,0}</math>는 오직 <math>n</math>번째 쪽에서만 상쇄될 수 있다. <math>n</math>번째 쪽에서
:<math>\deg d^n=(-n,n-1)</math>
이므로, <math>E^2_{n,0}</math>은 <math>E^2_{0,n-1}</math>과 상쇄되어야 한다. 즉,
:<math>E^2_{0,n-1}=\operatorname H_0(\mathbb S^n;\operatorname H_{n-1}(\Omega\mathbb S^n;\mathbb Z))=\mathbb Z</math>
이다. 따라서
:<math>\operatorname H_{n-1}(\Omega\mathbb S^n;\mathbb Z)=\mathbb Z</math>
이다.

그런데 이제 <math>E^2_{n,n-1}=\mathbb Z</math> 역시 어떤 쪽에서 상쇄되어야만 한다. 마찬가지로, 이 성분이 상쇄될 수 있는 유일한 쪽은 <math>n</math>번째 쪽이며, 이는 <math>E^2_{0,2(n-1)}</math>과 상쇄되어야 한다. 따라서
:<math>E^2_{0,2(n-1)}=\operatorname H_0(\mathbb S^n;\operatorname H_{2(n-1)}(\Omega\mathbb S^n;\mathbb Z))=\mathbb Z</math>
이며
:<math>\operatorname H_{2(n-1)}(\Omega\mathbb S^n;\mathbb Z)=\mathbb Z</math>
이다. 이 논리를 계속해서 반복하면 [[고리 공간]]의 호몰로지를 다음과 같이 계산할 수 있다.
:<math>\operatorname H_k(\Omega\mathbb S^n;\mathbb Z)=\begin{cases}
\mathbb Z&k\mid n-1\\
0&k\nmid n-1
\end{cases}</math>

=== 귀진 완전열 ===
{{본문|귀진 완전열}}
올이 [[초구]]인 [[세르 올뭉치]]
:<math>\mathbb S^k\hookrightarrow E\twoheadrightarrow B</math>
가 주어졌을 때, 그 세르 스펙트럼 열 <math>E^{p,q}_\bullet</math>은 오직 <math>q=0,k</math>인 행에서만 성분을 가지며, 따라서 이는 <math>k+2</math>번째 쪽에서 퇴화한다. 이를 통해 <math>E</math>의 [[코호몰로지]]와 <math>B</math>의 코호몰로지를 잇는 [[긴 완전열]]을 적을 수 있는데, 이를 '''[[귀진 완전열]]'''이라고 한다.

== 역사 ==
1946년에 [[장 르레]]는 [[스펙트럼 열]]의 최초의 예로 [[층 코호몰로지]]를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하였다.<ref name="Leray1"/><ref name="Leray2"/> 1951년에 [[장피에르 세르]]는 르레 스펙트럼 열 가운데, [[층 코호몰로지]]가 [[특이 코호몰로지]]가 되는 특수한 경우인 세르 스펙트럼 열에 대하여 연구하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Jean-Pierre|성=Serre|저자링크=장피에르 세르|제목=Homologie singulière des espaces fibrés|저널=Annals of Mathematics|jstor=1969485|doi=10.2307/1969485|권=54|호=3|날짜=1951-11|쪽=425–505|언어=fr}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[그로텐디크 스펙트럼 열]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Leray spectral sequence}}
* {{nlab|id=Leray spectral sequence}}
* {{nlab|id=Serre spectral sequence}}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:층론]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:연속 함수]]