뤼카 수열 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''뤼카 수열'''({{llang|en|Lucas sequence}})은 주어진 두 정수에 의존하는, [[일차 다항식|일차]] [[점화식]]으로 정의되는 수열이다.

== 정의 ==
두 정수 <math>P,Q</math>에 대한 '''제1종 뤼카 수열'''({{llang|en|Lucas sequence of the first kind}} <math>U_n(P,Q)</math>은 다음과 같이 [[점화식]]으로 정의된다.
:<math>U_0(P,Q)=0</math>
:<math>U_1(P,Q)=1</math>
:<math>U_n(P,Q)=P\cdot U_{n-1}-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)</math>
두 정수 <math>P,Q</math>에 대한 '''제2종 뤼카 수열'''({{llang|en|Lucas sequence of the second kind}} <math>V_n(P,Q)</math>은 다음과 같이 점화식으로 정의된다.
:<math>V_0(P,Q)=2</math>
:<math>V_1(P,Q)=P</math>
:<math>V_n(P,Q)=P\cdot V_{n-1}-Q\cdot V_{n-2}(P,Q)</math>

== 성질 ==
=== 일반항 ===
[[이차 방정식]] <math>x^2-Px+Q</math>의 두 해를 각각
:<math>\textstyle\alpha=(P+\sqrt{P^2-4Q})/2</math>
:<math>\textstyle\beta=(P-\sqrt{P^2-4Q})/2</math>
라고 할 때, 뤼카 수열의 [[일반항]]은 각각 다음과 같다.
:<math>U_n(P,Q)=(\alpha^n-\beta^n)/(\alpha-\beta)</math>
:<math>V_n(P,Q)=\alpha^n+\beta^n</math>

=== 생성 함수 ===
뤼카 수열의 [[생성 함수]]는 각각 다음과 같다.
:<math>\sum_{n=0}^\infty U_n(P,Q)x^n=x/(1-Px+Qx^2)</math>
:<math>\sum_{n=0}^\infty V_n(P,Q)x^n=(2-Px)/(1-Px+Qx^2)</math>

== 예 ==
=== 값 ===
뤼카 수열의 처음 몇 항은 각각 다음과 같다.<ref>{{매스월드|id=LucasSequence|title=Lucas sequence}}</ref>
{| class="wikitable"
! <math>n</math>
! <math>U_n(P,Q)</math>
! <math>V_n(P,Q)</math>
|-
| 0
| 0
| 2
|-
| 1
| 1
| <math>P</math>
|-
| 2
| P
| <math>P^2-2Q</math>
|-
| 3
| <math>P^2-Q</math>
| <math>P(P^2-3Q)</math>
|-
| 4
| <math>P(P^2-2Q)</math>
| <math>P^4-4QP^2+2Q^2</math>
|-
| 5
| <math>P^4-3QP^2+Q^2</math>
| <math>P(P^4-5QP^2+5Q^2)</math>
|-
| 6
| <math>P(P^2-3Q)(P^2-Q)</math>
| <math>(P^2-2Q)(P^4-4QP^2+Q^2)</math>
|-
| 7
| <math>P^6-5QP^4+6Q^2P^2-Q^3</math>
| <math>P(P^6-7QP^4+14Q^2P^2-7Q^3)</math>
|-
| 8
| <math>P(P^2-2Q)(P^4-4QP^2+2Q^2)</math>
| <math>P^8-8QP^5+20Q^2P^4-16Q^3P^2+2Q^4</math>
|-
| 9
| <math>(P^2-Q)(P^6-6QP^4+9Q^2P^2-Q^3)</math>
| <math>P(P^2-3Q)(P^6-6QP^4+9Q^2P^2-3Q^3</math>
|-
| 10
| <math>P(P^4-3QP^2+Q^2)(P^4-5QP^2+5Q^2)</math>
| <math>(P^2-2Q)(P^8-8QP^6+19Q^2P^4-12Q^3P^2+Q^4)</math>
|}

=== 특수한 경우 ===
뤼카 수열의 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다.
{| class="wikitable sortable"
! rowspan="2" | <math>P</math>
! rowspan="2" | <math>Q</math>
! colspan="2" | <math>U_n(P,Q)</math>
! colspan="2" | <math>V_n(P,Q)</math>
|-
! 이름
! OEIS
! 이름
! OEIS
|-
| -1
| 3
| -
| {{OEIS2C|A214733}}
| -
| -
|-
| 1
| -2
| [[야콥스탈 수]]
| {{OEIS2C|A001045}}
| [[야콥스탈-뤼카 수]]
| {{OEIS2C|A014551}}
|-
| 1
| -1
| [[피보나치 수]]
| {{OEIS2C|A000045}}
| [[뤼카 수]]
| {{OEIS2C|A000032}}
|-
| 1
| 1
| -
| {{OEIS2C|A128834}}
| -
| {{OEIS2C|A087204}}
|-
| 1
| 2
| -
| {{OEIS2C|A107920}}
| -
| {{OEIS2C|A002249}}
|-
| 2
| -1
| [[펠 수]]
| {{OEIS2C|A000129}}
| [[펠-뤼카 수]]
| {{OEIS2C|A002203}}
|-
| 2
| 1
| -
| {{OEIS2C|A001477}}
| -
| -
|-
| 2
| 2
| -
| {{OEIS2C|A009545}}
| -
| {{OEIS2C|A007395}}
|-
| 2
| 3
| -
| {{OEIS2C|A088137}}
| -
| -
|-
| 2
| 4
| -
| {{OEIS2C|A088138}}
| -
| -
|-
| 2
| 5
| -
| {{OEIS2C|A045873}}
| -
| -
|-
| 3
| -5
| -
| {{OEIS2C|A015523}}
| -
| {{OEIS2C|A072263}}
|-
| 3
| -4
| -
| {{OEIS2C|A015521}}
| -
| {{OEIS2C|A201455}}
|-
| 3
| -3
| -
| {{OEIS2C|A030195}}
| -
| {{OEIS2C|A172012}}
|-
| 3
| -2
| -
| {{OEIS2C|A007482}}
| -
| {{OEIS2C|A206776}}
|-
| 3
| -1
| -
| {{OEIS2C|A006190}}
| -
| {{OEIS2C|A006497}}
|-
| 3
| 1
| -
| {{OEIS2C|A001906}}
| -
| {{OEIS2C|A005248}}
|-
| 3
| 2
| [[메르센 수]]
| {{OEIS2C|A000225}}
| <math>2^n+1</math>
| {{OEIS2C|A000051}}
|-
| 3
| 5
| -
| {{OEIS2C|A190959}}
| -
| -
|-
| 4
| -3
| -
| {{OEIS2C|A015530}}
| -
| {{OEIS2C|A080042}}
|-
| 4
| -2
| -
| {{OEIS2C|A090017}}
| -
| -
|-
| 4
| -1
| -
| {{OEIS2C|A001076}}
| -
| {{OEIS2C|A014448}}
|-
| 4
| 1
| -
| {{OEIS2C|A001353}}
| -
| {{OEIS2C|A003500}}
|-
| 4
| 2
| -
| {{OEIS2C|A007070}}
| -
| {{OEIS2C|A056236}}
|-
| 4
| 3
| -
| {{OEIS2C|A003462}}
| -
| {{OEIS2C|A034472}}
|-
| 4
| 4
| -
| {{OEIS2C|A001787}}
| -
| -
|-
| 5
| -3
| -
| {{OEIS2C|A015536}}
| -
| -
|-
| 5
| -2
| -
| {{OEIS2C|A015535}}
| -
| -
|-
| 5
| -1
| -
| {{OEIS2C|A052918}}
| -
| {{OEIS2C|A087130}}
|-
| 5
| 1
| -
| {{OEIS2C|A004254}}
| -
| {{OEIS2C|A003501}}
|-
| 5
| 4
| -
| {{OEIS2C|A002450}}
| -
| {{OEIS2C|A052539}}
|-
| <math>x</math>
| -1
| [[피보나치 다항식]]
| -
| [[뤼카 다항식]]
| -
|-
| <math>2x</math>
| 1
| 제2종 [[체비쇼프 다항식]]
| -
| 제1종 [[체비쇼프 다항식]]의 2배
| -
|-
| <math>x+1</math>
| <math>x</math>
| <math>x</math>를 밑으로 하는 [[렙유니트 수]]
| -
| <math>x^n+1</math>
| -
|}

== 역사 ==
[[프랑스]] 수학자 [[에두아르 뤼카]]의 이름을 따 명명되었다.

== 같이 보기 ==
* [[뤼카 수]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lucas sequence}}
* {{매스월드|id=LucasSequence|title=Lucas sequence}}

[[분류:정수열]]
[[분류:점화식]]