뤼카 다항식 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''뤼카 다항식'''({{llang|en|Lucas polynomials}})은 [[에두아르 뤼카]]의 이름을 딴 [[다항식]]열이다. [[피보나치 다항식]]과 [[점화식]]이 같다. '''뤼카 수'''({{llang|en|Lucas numbers, Lucas series}})는 뤼카 다항식에 1을 대입하여 얻는 [[정수열]]이다. [[피보나치 수]]와 점화식이 같다.

== 정의 ==
제2종 [[뤼카 수열]]을 <math>V_n(P,Q)</math>로 쓰자.

=== 뤼카 다항식 ===
'''뤼카 다항식''' <math>L_n(x)</math>은 <math>V_n(2,x)</math>와 같다. 즉, 다음과 같이 정의된다.
:<math>L_0(x)=2</math>
:<math>L_1(x)=x</math>
:<math>L_n(x)=xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x)</math>

=== 뤼카 수 ===
'''뤼카 수''' <math>L_n</math>은 <math>L_n(1)</math>와 같다. 즉, 다음과 같이 정의된다.
:<math>L_0=2</math>
:<math>L_1=1</math>
:<math>L_n=L_{n-1}+L_{n-2}</math>
처음 몇 뤼카 수는 다음과 같다.
:2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, ... {{OEIS|A000032}}
위 점화식을 음수 <math>n</math>에게도 적용하여 뤼카 수를 확장할 수 있다. 이 경우 0번째, -1번째, ... 뤼카 수는 다음과 같다.
:1, 2, -1, 3, -4, 7, -11, 18, -29, 47, -76, 123, -199, 322, -521, ... {{OEIS|A061084}}

== 성질 ==
=== 일반항 ===
뤼카 다항식의 [[일반항]]은 다음과 같다.
:<math>L_n(x)=\left(\frac{x+\sqrt{x^2+4}}2\right)^n+\left(\frac{x-\sqrt{x^2+4}}2\right)^n
=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac n{n-k}\frac{(n-k)!}{k!(n-2k)!}x^{n-k}</math>
여기서 <math>\lfloor-\rfloor</math>는 [[바닥 함수]]이다. 특히 뤼카 수의 일반항은 다음과 같다.
:<math>L_n=\lfloor\varphi^n+1/2\rfloor=\varphi^n+(-\varphi)^{-n}=\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n+\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n</math>
여기서 <math>\varphi</math>는 [[황금비]]이다.

=== 항등식 ===
다음과 같은 [[항등식]]이 성립한다.
:<math>L_{-n}=(-1)^nL_n</math>

=== 생성 함수 ===
뤼카 다항식의 [[생성 함수]]는 다음과 같다.
:<math>\sum_{n=0}^\infty L_n(t)x^n=\frac{1+x^2}{1-tx-x^2}</math>
특히 뤼카 수의 생성 함수는 다음과 같다.
:<math>\sum_{n=0}^\infty L_nx^n=\frac{1+x^2}{1-x-x^2}</math>

=== 뤼카 소수 ===
'''뤼카 소수'''({{llang|en|prime Lucas numbers}})는 다음과 같다.
:2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... {{OEIS|A000032}}
뤼카 소수의 첨수는 다음과 같다.
:0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, ... {{OEIS|A001606}}
뤼카 소수의 첨수는 항상 0이거나 [[소수 (수론)|소수]]이거나 [[2의 거듭제곱]]이다. 뤼카 소수가 무한히 많다는 추측이 있다.<ref>{{웹 인용|제목=The Prime Glossary: Lucas prime|url=http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=LucasPrime|웹사이트=The Prime Pages}}</ref>

== 역사 ==
[[프랑스]] 수학자 [[에두아르 뤼카]]의 이름을 땄다.

== 같이 보기 ==
* [[피보나치 수]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lucas polynomials}}
* {{매스월드|id=LucasPolynomial|title=Lucas polynomial}}
* {{매스월드|id=LucasNumber|title=Lucas number}}
* {{웹 인용|성=Knott|이름=Dr Ron|제목=The Lucas Numbers|url=http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/lucasNbs.html|보존url=https://web.archive.org/web/20051126021243/http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/lucasNbs.html|보존날짜=2005-11-26|언어=en}}
* {{웹 인용|성=Jovanovic|이름=Radoslav|제목=Lucas numbers and the Golden Section|url=http://milan.milanovic.org/math/english/lucas/lucas.html|보존url=https://web.archive.org/web/20051030021553/http://milan.milanovic.org/math/english/lucas/lucas.html|보존날짜=2005-10-30|언어=en}}
* {{웹 인용|제목=Calculators for Fibonacci and other Sequences|url=http://www.plenilune.pwp.blueyonder.co.uk/fibonacci-calculator.asp|보존url=https://web.archive.org/web/20070216024906/http://www.plenilune.pwp.blueyonder.co.uk/fibonacci-calculator.asp|보존날짜=2007-02-16|언어=en}}

[[분류:정수열]]
[[분류:피보나치 수]]
[[분류:점화식]]