롤의 정리 문서 원본 보기

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[[미적분학]]에서 '''롤의 정리'''(Rolle's theorem)란 미분 가능한 함수에 대한 본질적인 성질로서, 함수값이 같은 두 점이 존재할 경우, 함수의 그래프를 그리면 그 두 값 사이에 접선의 기울기가 0이 되는 점이 반드시 존재한다는 정리이다.

== 정리의 표준적 서술 ==
실변수 함수 <math>f</math>가 [[구간|닫힌 구간]] [a,b]에서 [[연속 함수|연속]]이고 [[구간|열린 구간]] (a,b)에서 [[미분|미분 가능]]하며 <math>f(a) = f(b)</math> 일 때, <math>f '(c) = 0</math>이 되는 구간 (a,b)사이의 c가 최소한 하나는 존재한다.

이것은 [[평균값 정리]](mean value theorem)를 증명하는데 이용되며, 실질적으로 평균값 정리의 특별한 경우이다.

== 증명 ==
# <math>\left[ a,b\right]</math>에서 <math>f\left( x\right)</math>가 [[상수 함수]]인 경우
#: 모든 <math>x\in\left( a,b\right)</math>에 대해서 <math>f'\left( x\right) =0</math>이다.
# <math>f\left( x\right) >f\left( a\right)</math>인 <math>x\in\left( a,b\right)</math>가 존재할 경우
#: [[최대 최소 정리]]에 의하여 함수 <math>f</math>는 <math>\left[ a,b\right]</math>에서 최댓값을 갖는다. <math>f\left( a\right) =f\left( b\right)</math>이며 가정에 의하여 <math>f\left( x\right) >f\left( a\right)</math>인 <math>x\in\left( a,b\right)</math>가 존재하므로 최댓값은 <math>f\left( a\right)</math>나 <math>f\left( b\right)</math>가 될 수 없다. 즉, <math>\left( a,b\right)</math>에서 최댓값을 가져야 한다. <math>x=c\in\left( a,b\right)</math>에서 최댓값을 가진다고 하면 [[극값#일계도함수판정법|일계도함수판정법]]에 의하여 <math>f'\left( c\right) =0</math>이다.
# <math>f\left( x\right) <f\left( a\right)</math>인 <math>x\in\left( a,b\right)</math>가 존재할 경우
#: [[최대 최소 정리]]에 의하여 함수 <math>f</math>는 <math>\left[ a,b\right]</math>에서 최솟값을 갖는다. <math>f\left( a\right) =f\left( b\right)</math>이며 가정에 의하여 <math>f\left( x\right) <f\left( a\right)</math>인 <math>x\in\left( a,b\right)</math>가 존재하므로 최솟값은 <math>f\left( a\right)</math>나 <math>f\left( b\right)</math>가 될 수 없다. 즉, <math>\left( a,b\right)</math>에서 최솟값을 가져야 한다. <math>x=c\in\left( a,b\right)</math>에서 최솟값을 가진다고 하면 [[극값#일계도함수판정법|일계도함수판정법]]에 의하여 <math>f'\left( c\right) =0</math>이다.

== 역사 ==
12세기 인도 천문학자 바스카라 2세(Bhāskara II)가 처음 서술하였다고 한다. 형식적인 증명은 [[미셸 롤]](Michel Rolle)이 [[1691년]]에 미적분학을 이용하여 처음 증명하였다.

"롤의 정리"라는 이름은 [[1834년]] 독일의 M.W.Drobisch와 [[1846년]] 이탈리아의 Giusto Bellavitis가 처음 썼다고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[미셸 롤]]
* [[평균값의 정리]]
* [[최대 최소 정리]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |isbn=0-495-38362-7 |제목=Calculus(Metric International Version, 6th Edition) |저자=James Stewart |출판사=Brooks/Cole, Cengage Learning |연도=2009년}}


{{위키공용분류}}

{{전거 통제}}

[[분류:미적분학 정리]]
[[분류:실해석학 정리]]