로지스틱 방정식 문서 원본 보기

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'''로지스틱 방정식''' (logistic equation)은 생태학에서 개체군 성장의 단순한 모델로 고안된 미분 방정식, 또는 차분 방정식을 말한다. [[혼돈 이론]]의 초기 연구 대상의 하나로 연구되어 현재는 생태학 뿐 아니라 여러 분야에서 응용되어 쓰이고 있다. 

== 모델 ==
보통 한 부모가 만든 자손의 수는 대략 일정하므로, 증가율을 '''r'''로 하면 개체 수 '''N'''의 증가율은

<math>\frac{dN}{dt} = rN</math>

로 쓸 수 있다. 이 방정식의 해는 지수 곡선이 되어 짧은 시간에도 인구 폭발을 일으킨다. 이러한 개체군 성장 모델을 생물 개체의 증가가 [[기하급수]]적이라고 지적한 것이 [[토머스 맬서스|맬서스]]이기 때문에 맬서스적 성장으로 부르기도 한다. 그러나 현실의 생물은 특정 환경에서 생활하고 있고, 그곳에서 생활할 수 있는 개체 수의 상한선이 정해져 있다고 보는 것이 자연스럽다. 곧, 개체 수가 많아지면, 그 증가율은 낮아지는 것을 상상할 수 있다. 그래서 이러한 현실적인 개체 수 변화를 설명하기 위해서는 다음과 같은 성질을 갖는 새로운 식이 필요하다.
* 개체 수 0에서 증가율은 0이다.
* 개체 수가 증가함에 따라 증가율은 감소한다.
* 환경의 수용 가능 한계 개체 수를 K라고 하면 N=K일 때 증가율은 0이 된다.

== 로지스틱 방정식의 내용 ==
로지스틱 방정식은 [[1838년]] Verhulst<!--- 벨기에 태생 / 이름을 어떻게 읽는가?ㅇㄹㅇㄹ -->가 고안해 냈다. 그는 인구 증가를 설명하는 모델로 윗 문단에서 요구한 3가지 조건을 만족하는 다음 식을 고안한다. 이후 독자적으로 같은 식을 제시한 생태학자가 있어 이후 개체군 생태학의 기본적인 수학 모델로 자리잡는다.

실제 식은 다음과 같다.

<math>\frac{dN}{dt} = rN(\frac{K - N}{K})</math>

여기서'''K'''는 환경 수용력, 즉 그 특정 환경에서 살 수 있는 개체 수의 정원이다. 
'''ｒ'''는 내적 증가율로 부르며, 그 생물이 도달할 수 있는 최대 증가율이다. 실제 증가율은 N이 K에 가까워지면서 감소하고,

또 여기서 K = r/k 로 두면,

<math>\frac{dN}{dt} = N(r - kN)</math>

로 쓸 수 있다. 이 경우 '''k'''는 한 개체의 증가에 따라 증가율이 감소하는 비율을 나타낸다.

이 식으로 그래프를 그리면 처음엔 작았던 개체 수에서 시작한 그래프는 다음번엔 급히 상승했다가, 떨어졌다를 반복하며 일정한 값으로 수렴하는 시그모이드 곡선의 형태가 된다.

== 생물학적 해석 ==

로지스틱 방정식 자체는 생물학적으로는 현실적으로 불가능한 가정에 근거하고 있다.

* 모델에서 개체 수의 증가가 연속적이다. : 대다수 생물에서 특정 시기에만 증가가 일어난다. 특히 곤충 등 세대가 겹치지 않는 종은 개체 수 증가는 세대별로 단계적으로 생긴다.
* 모델에서 개체 수 증가가 증가율을 억제하는데 부모와 아이의 개체가 같은 비율로 억제에 관련된다. : 대다수 생물에서 부모와 자식은 크기가 다르므로 이러한 일은 있을 수 없다. 어떤 곤충은 부모와 자식은 서로 생활의 장소부터 다른 것들도 있다. 
* 모델에서 개체 수의 증가는 증가한 순간부터 증가율에 영향을 준다. : 물론 실제론 순간이라고 하는 것은 있을 수 없고, 부모와 자식은 크기와 생활의 장소 자체가 다른 경우도 있어, 개체 수의 증가가 증가율에 영향을 주기까지는 상당한 시간이 필요한 예가 적지 않다.

따라서, 로지스틱식을 단순하게 적용할 수 있는 것은 거의 크기에 차가 없는 형태로 증식하며, 언제나 증가하고 있는 세균이나, 세대가 완전하게 겹치고, 번식기가 확실치 않은 사람과 같은 것에 한정된다고 말할 수 있다. 그러나, 여러 생물의 개체군 연구에서 로지스틱식은 개체 수 변화의 기본적 모델로서 이용되어 많은 성과를 얻었다.

이 식에서 '''r'''은 그 종에게 가능한 최대의 증가율이며, 이 값이 클수록 빠르게 증식 할 가능성이 있다. 그리고, '''K''' 값은 그 환경 하에서 생존할 수 있는 개체 수의 상한을 나타낸다. 고립된 섬의 생물을 연구하는 도서 생태학 분야에서, 맥아더와 윌슨은 섬 생물 개체군의 정착과 멸종을 논해 정착의 성공에는 큰 '''r'''을 갖는 것이 중요하고, 멸종되지 않으려면 큰 '''K'''를 가지는 것이 중요하다라고 하며, 각각을 '''r도태''', '''K도태'''라고 불렀다.이것이 [[r-K전략설]], 나아가 생활사 전략론의 시작이 되었다.

또, 이 식을 차분 방정식의 형태로 했을 경우, K의 값을 어떻게 주느냐에 따라 개체 수는 안정된 K의 값을 받는 경우도 있지만, K 위아래 2개의 값 사이를 반복하거나 혹은 4개의 값의 사이를 왕래하는 결과가 나온다. 덧붙여 이 식을 한층 더 연구하면 비주기적으로 모든 값에 이르는 경우까지 도달하는 여러 가지 형태가 출현하며, 이는 [[혼돈 이론]] 초기의 주요 연구 대상 중 하나였다.

== 같이 보기 ==
* [[시그모이드 함수]]
* [[로지스틱 사상]]
[[분류:특수 함수]]
[[분류:상미분 방정식]]
[[분류:인구]]
[[분류:집단생태학]]