로슈미트 상수 문서 원본 보기

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'''로슈미트 상수''' 또는 '''로슈미트 수''' (기호: ''n'' <sub>0</sub> )는 주어진 부피 1m<sup>3</sup>에 존재하는 [[이상기체|이상 기체]] 입자([[원자]] 또는 [[분자]])의 [[개수밀도|개수]]이다. 일반적으로 [[표준 온도 압력|표준 온도 및 압력]]에서 기술된다. 2014 [[과학 기술 데이터 위원회]](CODATA)의 권장 값<ref>CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants:2014 {{Nist|http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?n0std}}, {{ArXiv|https://arxiv.org/pdf/1507.07956v1.pdf}}</ref>은 0 [[섭씨|°C]], 1[[기압]]에서 1세제곱미터당 {{Val|2.6867811|(15)}} {{E|25}} 이고, 한편 종전의 2006 [[과학 기술 데이터 위원회|CODATA]] 권장 값 은 0 °C, 1기압에서 1세제곱미터당 2.686 7774(47) {{E|25}}이다. 이 값은 1865년에 분자의 물리적 크기를 처음으로 추정한 [[오스트리아]]의 물리학자인 [[요한 요제프 로슈미트]]의 이름을 따서 명명되었다.<ref>{{저널 인용|제목=Zur Grösse der Luftmoleküle|저널=Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften Wien|성=Loschmidt|이름=J.|저자링크=Johann Josef Loschmidt|url=https://books.google.com/books?id=ppEAAAAAYAAJ&pg=PA395|연도=1865|권=52|호=2|쪽=395–413}}.</ref> "'''로슈미트 상수'''"의 용어는 특히 [[독일어]] 텍스트에서 [[아보가드로 수|아보가드로 상수]]를 표기할 때 때때로 사용된다.

로슈미트 상수는 다음의 관계식,

: <math>n_0 = \frac{p_0}{k_{\rm B}T_0}</math>

으로 주어지는데 여기서 ''p0''는 [[압력]]<sub>,</sub> ''k<sub>B</sub>''는 [[볼츠만 상수]]<sub>,</sub> ''T<sub>0</sub>''는 [[열역학 온도|열역학적 온도]]이다. 이 숫자는 아보가드로 상수 ''N'' <sub>A</sub> 와 다음 식,

: <math>n_0 = \frac{p_0N_{\rm A}}{RT_0}</math>

과 같이 관련되어 있는데 여기서 ''R은'' [[기체 상수]]이다.

[[개수밀도|개수 밀도]]의 척도인 로슈미트 상수는 기체 및 기타 물질에 대한 실제의 개수 밀도 단위인 아마가트(amagat)를 아래와 같이

: 1 아마가트 = ''n'' <sub>0</sub> = {{Val|2.6867811}} {{E|25}} m <sup>-3</sup> ,

로 정의할 때 사용하므로 로슈미트 상수는 정확히 1 아마가트가 된다.

== 현대적 결정 ==
물리 상수에 대한 권장 값인 [[과학 기술 데이터 위원회|CODATA]] 세트에서 로슈미트 상수는 기체 상수와 아보가드로 상수로부터 계산된다.

: <math>n_0 = \frac{N_{\rm A}}{R}\frac{p_0}{T_0} = \frac{A_{\rm r}({\rm e})M_{\rm u}c\alpha^2}{2R_{\infty}hR}\frac{p_0}{T_0}</math>

여기서 ''A<sub>r</sub>'' (e)는 [[전자]]의 [[상대 원자 질량]], ''M''{{아래 첨자|u}} 는 몰 질량 상수, ''c''는 [[빛의 속력|빛의 속도]], ''α''는 [[미세 구조 상수]], ''R<sub>∞</sub>''는 [[뤼드베리 상수]], ''h''는 [[플랑크 상수]]이다. 압력과 온도는 자유롭게 선택할 수 있는데 로슈미트 상수 값으로 인용해야 한다. 현재 알려진 로슈미트 상수의 정밀도는 전적으로 기체 상수 값의 불확실성에 의해 제한된다.

== 최초의 결정 ==
로슈미트는 현재 그의 이름이 붙어 있는 상수 값을 실제로 계산하지 않았지만, 이 값은 그가 발표한 결과 등을 간단하고 논리적으로 조작한 결과에 의한 것이다. [[제임스 클러크 맥스웰]]은 8년 후의 공개 강연에서 다음과 같은 용어로 그 논문을 설명했다.<ref name="Maxwell">{{저널 인용|제목=Molecules|저널=[[Nature (journal)|Nature]]|성=Maxwell|이름=James Clerk|저자링크=James Clerk Maxwell|url=http://web.lemoyne.edu/~giunta/maxwell.html|연도=1873|권=8|호=204|쪽=437–41|bibcode=1873Natur...8..437.|doi=10.1038/008437a0}}</ref><blockquote>로슈미트는 동역학 이론으로부터 다음과 같은 놀라운 비 값을 추론했다. 즉, 기체의 부피가 그 안에 포함된 모든 분자의 총 부피와 같듯이 분자의 평균 경로는 분자 직경의 1/8이다.</blockquote>이 "놀라운 비 값"을 도출하기 위해 로슈미트는 맥스웰의 [[평균자유행로|평균 자유 경로]]의 정의로부터 시작했다(이 페이지의 결과 값과 평균 자유 경로를 참조하는 페이지 간에는 불일치가 있는데, 여기에서는 추가적인 요소인 3/4이 들어 있다.

: <math>\ell = \frac{3}{4n_0\pi d^2}</math>

여기서 ''n''{{아래 첨자|0}} 는 로슈미트 상수와 같은 의미로 단위 부피당 분자의 수인이며, ''d''는 분자의 유효 직경(구형이라고 가정)이다. 이 식을 정리하면,

: <math>\frac{1}{n_0} = \frac{16}{3}\frac{\pi\ell d^2}{4}</math>

이 되는데, 여기서 1/''n''{{아래 첨자|0}} 은 기체 상태의 각 분자가 차지하는 부피이고 ''π'' ℓ''d'' {{위 첨자|2}}/4는 두 충돌 사이의 궤적에서 분자가 만드는 실린더의 부피이다. 그런데 각 분자의 실제 부피는 ''πd'' {{위 첨자|3}}/6으로 주어지므로 ''n''{{아래 첨자|0}}''πd'' {{위 첨자|3}}/6은 분자 사이의 빈 공간을 제외한 모든 분자가 차지하는 부피이다. 로슈미트는 이 부피를 액화 가스의 부피와 동일시했다. 방정식의 양변을 ''n''{{아래 첨자|0}}''πd''{{위 첨자|3}}/6으로 나누면 ''V''{{아래 첨자|liquid}} / ''V''{{아래 첨자|gas}} 의 인수를 도입하는 효과가 있는데, 로슈미트는 이 비값을 "응축 계수"라고 불렀고 실험적으로 측정할 수 있다. 이때 위 방정식은 다음의 식,

: <math>d = 8\frac{V_{\rm l}}{V_{\rm g}}\ell</math>

으로 간략하게 하여 기체 분자의 직경과 측정 가능한 현상과 관련지을 수 있다.


현재 로슈미트의 이름이 붙은 상수인 개수 밀도 값은 분자의 직경을 평균 자유 경로의 정의에 간단히 대입하고 재배열하면 구할 수 있다.

: <math>n_0 = \left (\frac{V_{\rm g}}{V_{\rm l}}\right )^2 \frac{3}{256\pi\ell^3}</math>

로슈미트는 이러한 단계를 수행하지 않고  공기 분자의 평균 직경을 추정하기로 하였다. 응축 계수를 알 수 없어 추정해야 했는데 이는 사소한 작업이 아니었다. Raoul Pictet 과 Louis Paul Cailletet이 처음으로 질소를 액화하기까지는 12년이 더 걸렸다. 평균 자유 경로도 불확실했다. 그럼에도 불구하고 로슈미트는 약 1나노미터 직경에 도달했는데, 이 크기 값의 차수는 옳은 값이다.

공기에 대한 로슈미트의 추정 데이터 값, ''n'' {{아래 첨자|0}} = {{Val|1.81}} {{E|24}} m<sup>-3</sup> 이었다. 8년 후, 맥스웰은 cm {{위 첨자|3}} 당 "약 19 백만 백만 백만" 즉, {{Val|1.9}} {{E|25}} m<sup>-3</sup> 의 값을 언급했다.<ref name="Maxwell"/>

== 같이 보기 ==
* [[아보가드로 법칙|아보가드로의 법칙]]


== 각주 ==
{{각주}}

{{물리 상수에 이름이 사용되는 과학자}}

[[분류:물리 상수]]
[[분류:물질량]]