로렌즈 방정식 문서 원본 보기

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[[파일:Lorenz attractor.svg|thumbnail|200px|로렌즈 끌개]]
[[파일:A Lorenz system.ogv|right|섬네일|로렌즈 끌개의 시간 변화]]
[[동역학계 이론]]에서 '''로렌즈 방정식'''(Lorenz方程式, {{llang|en|Lorenz equation}})은 3차원 공간상에서 대기의 [[대류]]를 나타내는 간단한 비선형 [[동역학계]]이다. 이상한 끌개의 대표적인 예이다.

== 정의 ==
'''로렌즈 방정식'''은 <math>x(t),y(t),z(t)</math> 세 변수에 대한 1차 비선형 연립 [[상미분 방정식]]이며, 세 개의 매개변수 <math>\sigma,\rho,\beta</math>에 의존한다. 다음과 같다.
:<math>\dot x=\sigma(y-x)</math>
:<math>\dot y=x(\rho-z)-y</math>
:<math>\dot z=xy-\beta z</math>
로렌즈의 원래 논문<ref name="Lorenz"/>에서 사용된 매개변수 값들은 다음과 같다.
:<math>\sigma=10</math>
:<math>\beta=8/3</math>
:<math>\rho=28</math>
이 값에서 로렌즈 방정식은 [[혼돈 (수학)|혼돈적]]인 성질을 보이며, '''로렌즈 끌개'''라는 [[야릇한 끌개]]를 가진다.

== 성질 ==
=== 대칭 ===
로렌즈 방정식은 다음과 같은 대칭을 가진다.
:<math>(x,y,z)\mapsto(-x,-y,z)</math>

=== 평형점과 불변 집합 ===
<math>\sigma\ne0</math>이며 <math>\beta(\rho-1)>0</math>일 경우, 로렌즈 방정식의 [[평형점]]은 다음과 같이 세 개가 있다.
:<math>(x,y,z)=\left(\sqrt{\beta(\rho-1)},\sqrt{\beta(\rho-1)},(\rho-1)\right)</math>
:<math>(x,y,z)=\left(-\sqrt{\beta(\rho-1)},-\sqrt{\beta(\rho-1)},(\rho-1)\right)</math>
:<math>(x,y,z)=(0,0,0)</math>
만약 <math>\sigma\ne0</math>이지만 <math>\beta(\rho-1)<0</math>일 경우, 마지막 하나의 평형점만이 존재한다.

로렌즈 방정식에서, z축 <math>\{(0,0,z)\colon z\in\mathbb R\}</math>은 불변 집합이다. z축 위에서 로렌즈 방정식은
:<math>\dot z=-\beta z</math>
가 되므로, <math>\beta>0</math>이라면 이 경우 모든 초기 조건은 원점 <math>(0,0,0)</math>으로 지수적으로 수렴한다.

=== 분기 ===
[[파일:Lorenz attractor boxed.svg|섬네일|right|로렌즈 끌개는 3차원 속의 곡면 속에 존재하며, [[프랙털]] 모양을 하고 있다.]]
<math>(\beta,\sigma)=(8/3,10)</math>으로 고정시키고, <math>\rho</math>의 값을 변화시킨다면, 로렌즈 방정식은 다음과 같은 성질을 보인다.
* <math>\rho\in(0,1)</math>일 경우, 원점은 유일한 안정적 [[평형점]]이다. 모든 궤도는 원점으로 수렴한다.
* <math>\rho=1</math>에서 [[갈퀴 분기]]가 일어나며, 원점은 세 개의 평형점으로 [[분기 (동역학계)|분기]]한다. 원점은 이제 불안정 평형점이 되지만, 나머지 두 평형점은 안정적이다. <math>1<\rho<1.346</math>일 경우 거의 모든 초기 조건은 두 안정적 [[평형점]]으로 수렴한다.
* <math>\rho=1.346</math>에서 [[호프 분기]]가 일어나며, 모든 [[평형점]]이 불안정해진다. 대신 두 개의 안정적인 [[극한 주기 궤도]] <math>C_+</math>, <math>C_-</math>이 생기며, <math>1.346<\rho<13.926</math>일 경우 거의 모든 초기 조건은 두 [[극한 주기 궤도]] 가운데 더 가까운 쪽으로 수렴한다.
* <math>13.926<\rho<24.06</math>일 경우, 로렌즈 방정식은 '''일시적 혼돈'''({{llang|en|transient chaos}})을 보인다. 즉, 두 안정적 [[극한 주기 궤도]] <math>C_+</math>, <math>C_-</math>가 존재하며 거의 모든 궤도는 이 둘 가운데 하나로 수렴하지만, 일부 초기 조건에 대하여 어느 쪽으로 수렴하는지 여부는 초기 조건에 대하여 민감하게 의존한다.
* <math>24.06<\rho<24.74</math>일 경우, 로렌즈 방정식은 일부 초기 조건에 대하여 [[혼돈 (수학)|혼돈]]을 보이기 시작한다. 그러나 두 [[극한 주기 궤도]] <math>C_\pm</math>는 여전히 안정적이다.
* <math>\rho>\sigma\tfrac{\sigma+\beta+3}{\sigma-\beta-1}\approx24.74</math>이게 되면 두 [[극한 주기 궤도]]는 더 이상 안정적이지 않으며, [[거의 모든]] 초기 조건에 대하여 [[혼돈 (수학)|혼돈]]이 발생한다.
** 특히, 로렌즈가 연구한 경우인 <math>\rho=28</math>인 경우는 혼돈적이다. 이 경우, 로렌즈 끌개의 [[하우스도르프 차원]]은 약  2.06 ± 0.01이다.
** 그러나 <math>\rho>24.74</math>인 경우에도, 특수한 <math>\rho</math>의 값에서는 혼돈이 발생하지 않을 수 있다. 예를 들어, <math>\rho=100</math>인 경우 안정적 [[극한 주기 궤도]]가 존재한다.
* 매우 큰 <math>\rho</math>의 값에 대하여 로렌즈 방정식은 다시 비혼돈적이게 된다. 구체적으로, <math>\rho>313</math>일 경우 거의 모든 궤도는 [[극한 주기 궤도]]로 수렴하게 된다.

다양한 매개 변수 값에서, 로렌즈 끌개는 다음과 같은 모양을 가진다. 여기서는 <math>\beta=8/3</math>, <math>\sigma=10</math>으로 고정시키고, <math>\rho</math> 값을 바꾼다.
:{| style="text-align:center"
| [[파일:Lorenz Ro9 0 m19 m40.jpg|200px]] || [[파일:Lorenz Ro13-200px.png]] || [[파일:Lorenz Ro14 20 41 20-200px.png]] || [[파일:Lorenz Ro15-200px.png]] || [[파일:Lorenz Ro28-200px.png]]
|-
| ''ρ''=9 || ''ρ''=13 || ''ρ''=14 || ''ρ''=15 || ''ρ''=28
|}

== 역사 ==
1963년 미국의 [[기상학자]]인 [[에드워드 노턴 로렌즈]]가 〈결정론적 비주기 흐름〉({{llang|en|Deterministic nonperiodic flow}})이라는 논문에서 이 방정식을 발표하였다.<ref name="Lorenz">{{저널 인용|저자링크=에드워드 노턴 로렌즈|성=Lorenz|이름=E. N.|제목=Deterministic nonperiodic flow|저널=Journal of the Atmospheric Sciences|권=20|호=2|쪽=130–141|날짜=1963-03|doi=10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2|언어=en}}</ref> 로렌즈 방정식의 유도는 프랑스 물리학자 [[앙리 베나르]](Henri Bénard) (1874–1939)와 영국 물리학자 [[존 윌리엄 스트럿 레일리]](1842–1919)의 이론들이 기초가 된다. 이 방정식의 초기 조건에 대한 민감성의 발견은 [[혼돈 이론]]의 시초로 여겨진다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|성=Sparrow|이름=C.|제목=The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors|출판사=Springer|날짜=1982|doi=10.1007/978-1-4612-5767-7|isbn=978-0-387-90775-8|총서=Applied Mathematical Sciences|권=41|issn=0066-5452|언어=en}}
*  {{저널 인용|성=Viana|이름=M.|날짜=2000|제목=What’s new on Lorenz strange attractors?|url=http://w3.impa.br/~viana/out/mi.pdf|저널=The Mathematical Intelligencer|권=22|쪽=6–19|doi=10.1007/BF03025276|언어=en}}
* Yorke, J. A. and Yorke, E. D. "Metastable Chaos: The Transition to Sustained Chaotic Oscillation in a Model of Lorenz." J. Stat. Phys. 21, 263-277, 1979.
*  Williams, R. F. "The Structure of Lorenz Attractors." Publ. Math. IHÉS 50, 321-347, 1979.
*  Rand, D. "The Topological Classification of Lorenz Attractors." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 83, 451-460, 1978.

== 같이 보기 ==
* [[로지스틱 사상]]

== 외부 링크 ==
{{위키공용|Lorenz attractor}}
* {{eom|title=Lorenz attractor}}
* {{매스월드|id=LorenzEquations|title=Lorenz equations}}
* {{매스월드|id=LorenzAttractor|title=Lorenz attractor}}

{{전거 통제}}

[[분류:혼돈 이론]]