로그 적분 함수 문서 원본 보기

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[[파일:Logarithmic integral.png|섬네일|오른쪽|로그 적분 함수의 그래프]]
'''로그 적분 함수'''(log積分函數, {{llang|en|logarithmic integral function}})는 [[특수 함수]]의 일종이다. 보통 정적분으로 정의되고 <math>\frac{1}{\ln x}</math>의 부정적분으로 쓸 수도 있다.

== 정의 ==
로그 적분 함수는 [[정적분]]을 사용하여 다음과 같이 정의된다.(미국식 정의)
:<math> {\rm li} (x) =   \int_0^x \frac{dt}{\ln t} \; </math>
혹은 다음과 같은 유럽식 정의를 쓰기도 한다.<ref name="stewart">오일러 상수 감마, 가-173쪽, 나-305쪽, {{ISBN|978-89-6139-018-7}}</ref>
:<math> {\rm Li} (x) =   \int_2^x \frac{dt}{\ln t} \; </math>
여기서 <math> {\ln} \; </math>은 [[자연로그]]를 의미한다.

== 급수 ==
로그 적분 함수는 [[지수 적분 함수]] Ei(x)와 다음과 같은 관계에 놓여있다.<ref name="enwiki">영문 위키 참조</ref>
:<math>\operatorname{li}(x)=\operatorname{Ei}(\ln x)</math>
이 식은 ''x''&nbsp;>&nbsp;0에서 성립한다. 이 식은 [[지수 적분 함수]]의 [[급수 (수학)|급수]]로
:<math>\operatorname{li} (e^t) = \operatorname{Ei}(t) =\gamma + \ln |t| + \sum_{k=1}^\infty {t^{k}\over k \cdot k!}\qquad(t \ne 0) </math>
이므로
:<math>\operatorname{li} (x) = \operatorname{Ei}(\ln x) = \gamma + \ln \ln x + \sum_{k=1}^\infty {(\ln x)^{k}\over k \cdot k!}\qquad(x \ne 1)</math>
로 표현할 수 있다.

[[라마누잔]]이 만든 더 빠르게 수렴하는 급수로는
:<math>\operatorname{li} (x) =
 \gamma
 + \ln \ln x
 + \sqrt{x} \sum_{n=1}^\infty
                \frac{ (-1)^{n-1} (\ln x)^n}  {n! \, 2^{n-1}}
                \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{1}{2k+1} .</math>
이 있다.

여기서 <math> \gamma </math> ≈ 0.57721 56649 01532 ... 는 [[오일러-마스케로니 상수]]이다.

== 점근적 표기 ==
x → ∞에서의 li(x)의 행동은 다음과 같다.<ref name="enwiki"/>
:<math> {\rm li} (x) = O \left( {x\over \ln x} \right) \;  </math>
여기서 <Math>O</Math>는 [[점근 표기법]]을 의미한다.

== 소수와의 관계 ==
로그 적분 함수는 수론에서 매우 중요한데 왜냐하면 어떤 수 이하의 소수의 개수를 어림하는데 쓰이기 때문이다.
즉, [[소수 정리]]는 다음을 보장한다.
:<math>\pi(x)\sim\operatorname{li}(x)</math>
여기서의 <math>\pi(x)</math>은 [[소수 계량 함수]]이다.
실제로 계산해 보면 작은 범위 안에서는 <math>li(x)</math>가 <math>\pi(x)</math>보다 항상 약간 더 큰 것처럼 보이지만 실제로는 [[스큐스 수]]에서 <math>\pi(x)</math>가 <math>li(x)</math>보다 더 커지고 이후에는 무한히 대소 순서가 바뀐다는 것이 알려져 있다.<ref name = "stewart"/>

== 지수 적분 함수와의 관계 ==
로그 적분 함수는 다른 특수 함수인 [[지수 적분 함수]]와 밀접한 연관이 있다.
가장 간단한 예로는 <math>\operatorname{li}(x)=\operatorname{Ei}(\ln x)</math>라는 관계가 있다.
또한, 음함수 미분법을 이용하여 로그 적분 함수의 역함수를 미분해 보면 지수 적분 함수의 역함수가 나온다. 즉, 역함수를 함수 위에 -1을 위첨자로 쓴 형태로 표기한다면, <math>\frac{d}{dx} \operatorname{li}^{-1}(x)=\operatorname{Ei}^{-1}(x)</math>이라고 쓸 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[스큐스 수]]
* [[소수 계량 함수]]
* [[지수 적분 함수]]
* [[소수 정리]]
* [[라마누잔-솔드너 상수]]

{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:적분]]
[[분류:특수 함수]]
[[분류:특수 초기하함수]]