로그 나선 문서 원본 보기

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'''로그 나선'''(Logarithmic spiral), '''대수 나선(형)''', '''등각 나선형''' 또는 '''성장 나선형'''은 종종 자연에 나타나는 나선형 곡선을 표현하는데 유용하다.

로그 나선형은 [[데카르트]]에 의해 처음 기술되었으며, 나중에는 [[야콥 베르누이]]가 "스피라 미라빌리스(Spira mirabilis)"로 불리는 '''놀라운 나선형''' (the marvelous spiral)현상을 광범위하게 조사했다.<ref>(Spira mirabilis)http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/KURSATgeometrypro/golden{{깨진 링크|url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/KURSATgeometrypro/golden }} spiral/logspiral-history.html</ref>

== 정의 ==
극좌표에서 (<math>r, \theta</math>) 로그 나선형 곡선은 다음과 같이 표현할 수 있다.<ref>{{서적 인용| title = Divine Proportion: Φ Phi in Art, Nature, and Science | url = https://archive.org/details/divineproportion0000heme | author = Priya Hemenway | isbn = 1-4027-3522-7 | publisher = Sterling Publishing Co | year = 2005}}</ref>

:<math>r = ae^{b\theta}\,</math>
또는,
:<math>\theta = {{1}\over{b}} \ln{\left({r \over a}\right)}</math>
:자연 대수의 기초가 되는 <math>e</math> 그리고 <math>a</math> 와 <math>b</math>는 임의의 양의 실수 상수이다.

좌표상의 매개변수 형태에서 곡선은,
:<math>x(t) = r(t) \cos(t) = ae^{bt} \cos(t)\,</math>
:<math>y(t) = r(t) \sin(t) = ae^{bt} \sin(t)\,</math>
:<math>a</math> 와 <math>b</math>는 [[실수]]

나선형은 임의의 점에서 [[접선]]과 [[반지름]]<math>(r, \theta)</math>간의 각도 <math> \phi</math>가 일정하다. 이 특성은 다음과 같이 미분 기하학 용어로 표현될 수 있다.
:<math>\arccos \frac{\langle \mathbf{r}(\theta), \mathbf{r}'(\theta) \rangle}{\|\mathbf{r}(\theta)\|\|\mathbf{r}'(\theta)\|} = \arctan \frac{1}{b} = \phi</math>


:나선형 <math>r(\theta)</math>은 [[매개변수]]<math>b</math> 에 비례 한다. 즉, <math>b</math>가 나선형을 특정한 나선형이게 결정하며 그리고 어느 방향으로 움직이는지를 제어하게 된다.

극단적인 경우에는 <math>b= 0 \left(\phi = { {\pi}\over {2}} \right)</math>이고 <math>a=1 , \left(\phi = { {\pi}\over {2}}  \to \pi \right)</math> 나선형은 반경 <math>1 </math>의 원이 된다.
<!--   <math>b= 0 \left(\phi = { {\pi}\over {2}} \right)</math>나선형은 반경의 원이 된다. -->
:<math>a=1</math> 와 <math>b=0</math>에서, 무한히 <math> \phi \to 0</math>접근하는 나선형은 직선에 접근하는 성질을 갖게된다.
:여기서 보완적인 개념의 <math> \phi</math> 매개변수를 피치(축경사,pitch)라고한다.

== 자연에 나타나는 나선형 곡선을 표현하는 로그 나선의 응용 ==
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" bordercolor="#81ADCF" style="border-collapse:collapse;" align=center>
<tr align=center>
<td>
[[파일:Logarithmic Spiral Pylab.svg|로그 나선 축경사 10°|300px]]
</td>
<td>
[[파일:Nautilus Cutaway with Logarithmic Spiral.png|  로그 나선형으로 배열 된 챔버를 보여주는 노틸러스 껍질의 단면.
:(점선된 파란색 곡선은 성장률 매개 변수<math> b = 0.1759</math>를 기반으로한다)|300px]]
</td>
</tr align=center>
<tr>
<td align=center>
로그 나선 , 축경사10°
</td>
<td align=center>
[[앵무조개|노틸러스]] 껍질의 단면,파란색점선은 성장률 매개 변수<math> b = 0.1759</math>를 기반으로한다
</td>
</tr>
</table>



== 스피라 미라빌리스(Spira mirabilis) 와 야콥 베르누이(Jacob Bernoulli) ==
스피라 미라빌리스, 직역하면 "기적 나선"에 대한 라틴어는 로그 나선의 다른 이름이기도 하다. 이 곡선은 다른 수학자들에 의해 "등각 나선형"등등으로 명명되었지만 이와 상관없이, 베르누이는 이 독특한 곡선의 특성 이름인 "나선형"의 고유한 수학적 속성에 매료되었기 때문에 특별한 표현으로 "기적"또는 "놀라운"을 수식어로 하는 '''놀라운 나선형(Spira mirabilis)'''이라는 명칭을 이 곡선에 부여했다. 이 곡선은 곡선의 연장선상에서 축경사의 크기가 증가하지만 그 모양은 각각의 연속적인 곡선, 즉 [[자기 유사성]] (self-similarity)으로 알려진 속성만큼은 변경되지 않는다. 이 고유 한 특성의 결과로,스피라 미라빌리스는 자연에서 진화하여 [[노틸러스]] 껍질 및 [[해바라기]] 머리와 같은 고유한 특정 성장 형태로 나타난것을 확인할 수 있다. [[야콥 베르누이]](Jacob Bernoulli)는 "Eadem mutata resurgo"라는 문구와 함께 그의 비석에 새겨진 이러한 나선형을 원했지만 ("몇몇 변수에 의해 변형될수는 있지만 여전히 자기유사성으로 인해 수학적으로 표현되는 속성을 갖는 그러한 의미에서의 놀라운 나선형"), 실수로 [[아르키메데스 와선|아르키메데스의 나선]]이 대신 배치되었다고 한다.<ref name="livio">{{서적 인용|last=Livio|first=Mario|year=2002|title=The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number|url=https://archive.org/details/goldenratiostory00livi|publisher=Broadway Books|location=New York|isbn=0-7679-0815-5}}</ref><ref>Yates, R. C.: ''A Handbook on Curves and Their Properties'', J. W. Edwards (1952), "Evolutes." p. 206</ref>

== 로그 나선과 아르키메데스의 나선 ==
로그 나선은 기하학적 진행에서 나선의 선회 사이의 거리가 증가하는 반면에, 아르키메데스 나선에서는 이러한 거리가 일정하다는 사실에 의해 아르키메데스 나선과 구별 될 수 있다.
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" bordercolor="#81ADCF" style="border-collapse:collapse;" align=center>
<tr align=center>
<td>
[[파일:Logarithmic Spiral Pylab.svg|로그 나선|200px]]
</td>
<td>
[[파일:Archimedean spiral.svg|200px]]
</td>
</tr align=center>
<tr>
<td align=center>
로그 나선
</td>
<td align=center>
아르키메데스의 나선
</td>
</tr>
</table>

== 같이 보기 ==
* [[아르키메데스 나선]]
* [[피보나치 수]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:와선]]
[[분류:로그]]
[[분류:곡선]]
[[분류:거듭제곱]]
[[분류:평면 곡선]]