렙셰츠 수 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서 '''렙셰츠 수'''(Лефшец數, {{llang|en|Lefschetz number}})는 [[콤팩트 공간]] 위의 [[연속 함수|연속]] [[자기 함수]]의 [[호모토피류]]에 대응되는 [[유리수]] 값의 불변량이다. 렙셰츠 수가 0이 아닌 경우, '''렙셰츠 고정점 정리'''(Лефшец固定點定理, {{llang|en|Lefschetz fixed-point theorem}})에 따르면 함수는 [[고정점]]을 갖는다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>. 또한, 그 모든 [[베티 수]]와 코호몰로지 차원이 유한하다고 하자.
* [[연속 함수]] <math>f\colon X\to X</math>
그렇다면, <math>f</math>에 의하여 [[특이 코호몰로지]]에 대한 [[군 준동형]]이 유도된다.
:<math>f_*^{(n)}\colon\operatorname H^n(X;\mathbb Z)\to\operatorname H^n(X;\mathbb Z)\qquad(n\in\mathbb N)</math>
특히, 유리수 계수를 취하면, 다음과 같은 유리수 [[선형 변환]]을 얻는다.
:<math>f_*^{(n)}\otimes\mathbb Q\colon\operatorname H^n(X;\mathbb Q)\to\operatorname H^n(X;\mathbb Q)\qquad(n\in\mathbb N)</math>
<math>f</math>의 '''렙셰츠 수''' <math>\operatorname{Lef}f</math>는 다음과 같은 [[대각합]]들의 합인 [[유리수]]이다.
:<math>\operatorname{Lef}f=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\operatorname{tr}(f_*^{(n)}\otimes\mathbb Q)\in\mathbb Q</math>

== 성질 ==
'''렙셰츠 고정점 정리'''에 따르면, 만약
* <math>X</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[단체 복합체]]이며,
* <math>\operatorname{Lef}f\ne0</math>이라면,
<math>f</math>는 [[고정점]]을 갖는다. 즉, <math>f(x)=x</math>인 <math>x\in X</math>가 존재한다.

그러나 그 역은 성립하지 않을 수 있다.

=== 렙셰츠-호프 정리 ===
만약
* <math>X</math>가 <math>n</math>차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[다양체]]이며,
* <math>f</math>가 오직 유한 개의 [[고정점]]을 갖는다고 하자.
<math>f</math>의 고정점들의 집합을 <math>\operatorname{Fix}(f)\subseteq X</math>라고 하자. <math>x_0\in\operatorname{Fix}f</math>에 대하여, 항상 다음 조건들을 만족시키는 두 [[근방]] <math>U\ni x_0</math>, <math>V\ni x_0</math>을 찾을 수 있다.
* <math>U</math>와 <math>V</math>는 <math>n</math>차원 [[열린 공]]과 [[위상 동형]]이다.
* <math>f(V)\subseteq U</math>이다.
* <math>U\cap\operatorname{Fix}f=V\cap\operatorname{Fix}f=\{x_0\}</math>
* <math>\forall x\in V\setminus\{x_0\}\colon f(x)\ne x_0</math>
로 가정할 수 있다. 이 경우, 다음 함수
:<math>f\restriction(V\setminus\{x_0\})\colon V\setminus\{x_0\}\to U\setminus\{x_0\}</math>
를 생각하자. 정의역과 공역 둘 다 [[초구]] <math>\mathbb S^{n-1}</math>와 동치이므로, 호모토피류 <math>\phi_{x_0}\colon (U\setminus\{x_0\}\simeq\mathbb S^{n-1})\to (U\setminus\{x_0\}\simeq\mathbb S^{n-1})</math>를 정의할 수 있다. <math>X</math>에 임의의 [[방향 (다양체)|방향]]을 주었을 때, <math>\phi_{x_0}</math>의 [[브라우어르 차수]] <math>\deg \phi_{x_0}\in\mathbb Z</math>를 정의할 수 있다.

'''렙셰츠-호프 정리'''({{llang|en|Lefschetz–Hopf theorem}})에 따르면, 다음이 성립한다.
:<math>\sum_{x\in\operatorname{Fix}(f)}\deg\phi_x=\operatorname{Lef}f\in\mathbb Z</math>
특히, 이 경우 렙셰츠 수는 항상 [[정수]]임을 알 수 있다.

== 예 ==
만약 <math>f</math>가 [[항등 함수]]라면 그 렙셰츠 수는 <math>X</math>의 [[오일러 지표]]이다.
:<math>\operatorname{Lef}f=\chi(X)</math>

=== 렙셰츠 정리의 역에 대한 반례 ===
원 <math>\mathbb S^1\cong\mathbb R/(\forall x\colon x\sim x+1)</math> 위의 [[항등 함수]] <math>f\colon x\mapsto x</math>를 생각하자. 이는 물론 [[연속 함수]]이며, 무한히 많은 고정점을 갖는다. 그러나 임의의 <math>\theta\in\mathbb R\setminus\mathbb Z</math>에 대하여 <math>x\mapsto x+\theta</math>는 [[항등 함수]]와 [[호모토픽]]하지만 고정점을 갖지 않는다. 즉, 고정점을 갖는지 여부는 호모토피 불변량이 아니며, 이 호모토피류의 렙셰츠 수는 0이다.

== 역사 ==
[[솔로몬 렙셰츠]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용| 이름=Solomon|성= Lefschetz | 저자링크=솔로몬 렙셰츠 | title=Intersections and transformations of complexes and manifolds | journal=Transactions of the American Mathematical Society | year=1926 | volume=28 | pages=1–49 | doi=10.2307/1989171 | issue=1 |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용| 이름=Solomon|성= Lefschetz | 저자링크=솔로몬 렙셰츠| title=On the fixed point formula | url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1937-10_38_4/page/n67| journal=Annals of Mathematics | year=1937 | volume=38 | pages=819–822 | doi=10.2307/1968838 | issue=4  |언어=en}}
</ref> 렙셰츠-호프 정리는 [[하인츠 호프]]가 증명하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lefschetz number}}
* {{eom|title=Lefschetz formula}}
* {{매스월드|id=LefschetzFixedPointTheorem|title=Lefschetz fixed point theorem}}
* {{매스월드|id=LefschetzTraceFormula|title=Lefschetz trace formula}}
* {{nlab|id=Lefschetz trace formula}}
* {{nlab|id=Grothendieck-Lefschetz trace formula}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:고정점 정리]]
[[분류:대수적 위상수학 정리]]
[[분류:연속 함수]]