렌즈 공간 문서 원본 보기

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[[위상수학]]에서 '''렌즈 공간'''({{llang|en|lens space}})은 일련의 3차원 [[위상다양체]]들이다.

== 정의 ==
<math>p,q</math>가 [[서로소]] 양의 정수라고 하자. 3차원 [[초구]] <math>S^3</math>를 <math>S^3\subset\mathbb C^2</math>로 간주하자. 그렇다면 <math>S^3</math> 위에 다음과 같은 <math>\mathbb Z/p</math> [[군의 작용|작용]]을 정의할 수 있다.
:<math>[1]\in\mathbb Z/p\colon (z_1,z_2)\mapsto(\exp(2\pi i/p)z_1,\exp(2\pi iq/p)z_2)</math>
이 작용에 대한 [[몫공간]]
:<math>S^3/(\mathbb Z/p)</math>
을 '''렌즈 공간''' <math>L(p,q)</math>라고 한다.

== 성질 ==
렌즈 공간 <math>L(p,q)</math>는 3차원 (경계가 없는) [[위상다양체]]이며, 모두 [[자이페르트 다양체]]({{llang|en|Seifert manifold}})의 특수한 경우다.

정의에 따라, 렌즈 공간 <math>L(p,q)</math>의 [[기본군]]은
:<math>\pi_1(L(p,q))=\mathbb Z/p</math>
이다.

== 분류 ==
두 렌즈 공간 <math>L(p,q)</math>, <math>L(p',q')</math>이 [[호모토피 동치]]일 [[필요충분조건]]은 다음과 같다.
:어떤 정수 <math>n</math>이 존재하여,
::<math>q_1q_2\equiv-n^2\pmod p</math>
두 렌즈 공간 <math>L(p,q)</math>, <math>L(p',q')</math>이 [[위상동형]]일 [[필요충분조건]]은 다음과 같다.
:<math>q_1\equiv\pm q_2^{\pm1}\pmod p</math>

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lens space|first=A.V.|last=Chernavskii}}
* {{웹 인용|제목=Lens spaces|url=http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Lens_spaces|웹사이트=The Manifold Atlas|언어=en}}
* {{웹 인용|제목=Lens spaces: a history|url=http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Lens_spaces:_a_history|웹사이트=The Manifold Atlas|언어=en}}
* {{웹 인용|제목=Fake lens spaces|url=http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Fake_lens_spaces|웹사이트=The Manifold Atlas|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:다양체]]
[[분류:3-다양체]]