레비 확률 과정 문서 원본 보기

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[[확률론]]에서 '''레비 확률 과정'''(Lévy確率過程, {{llang|en|Lévy stochastic process}})은 모든 증분들이 서로 독립이며 정상적이며, 또한 어떤 연속성 조건을 만족시키는 [[확률 과정]]이다.

== 정의 ==
=== 확률 연속 확률 과정 ===
<math>S</math>가 [[균등 위상]]에 대한 [[보렐 가측 공간]]으로 간주한 어떤 [[균등 공간]]이라고 하자. <math>T</math>가 어떤 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이라고 하자.

[[확률 과정]] <math>(X_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, <math>X</math>를 '''확률 연속 확률 과정'''(確率連續確率過程, {{llang|en|stochatically continous stochastic process}})이라고 한다.
* <math>S</math>의 임의의 측근 <math>\sim_\epsilon</math> 및 임의의 <math>t\in T</math>에 대하여, <math>\textstyle\lim_{s\to t}\Pr(X_s \nsim_\epsilon X_t) = 0</math>이다.

예를 들어, 만약 <math>S = \mathbb R^d</math>가 [[유클리드 공간]]일 경우, 이 조건은 다음과 같다.
* 임의의 <math>\epsilon>0</math> 및 <math>t\in[0,\infty)</math>에 대하여, <math>\textstyle\lim_{s\to t} \Pr(\|X_s-X_t\| > \epsilon) = 0</math>

=== 무한 분해 가능 과정 ===
<math>S</math>가 [[보렐 가측 공간]]으로 여겨진 [[위상군]]이라고 하자. <math>(T,\le)</math>가 [[전순서]]가 주어진 [[가환 모노이드]](예를 들어, <Math>[0,\infty)</math>, <math>\mathbb N</math>, <math>\mathbb R</math>, <math>\mathbb Z</math> 등)라고 하자.

[[확률 과정]] <math>(X_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, <math>X</math>를 '''무한 분해 가능 확률 과정'''(無限分解可能確率過程, {{llang|en|infinitely divisible stochastic process}})이라고 한다.
* (증분의 독립성) 임의의 <math>t_0 \le t_1 \le t_2 \le \dotsb \le t_n</math>에 대하여, <math>\{X_{t_0} - X_{t_1},\dotsc,X_{t_{n-1}}-X_n\}</math>은 서로 [[독립 (확률론)|독립]]인 [[확률 변수]]의 족이다.
** 특히, <math>t_i = t_{i+1}</math>일 경우, <Math>X_{t_i}^{-1}X_{t_{i+1}}=0</math>은 상수이므로 자명하게 모든 [[확률 변수]]에 대하여 [[독립 (확률론)|독립]]이다.
* (증분의 정상성) 임의의 <math>s\in T</math>에 대하여, <math>X_t^{-1}X_{s+t}</math>의 [[확률 분포]]는 <math>X_s</math>의 [[확률 분포]]와 같다.
** 특히, <math>s=t</math>일 경우, <math>\Pr(X_0 = 1_S) = 1</math>이다.

여기서 ‘증분’({{llang|en|increment}})이란 <math>s,t\in T</math>에 대한 [[확률 변수]] <math>X_t^{-1}X_{t+s}</math>를 뜻한다. [[아벨 군]]에서 군 연산을 덧셈으로 표기할 경우, 이는 <math>X_{t+s} - X_t</math>와 같이 표기된다.

=== 레비 과정 ===
모든 [[위상군]]은 표준적인 [[균등 공간]] 구조를 갖는다.

[[위상군]] <math>S</math>를 [[표본]] 공간으로 삼고, 음이 아닌 [[실수]] 집합 <math>[0,\infty)</math>를 지표 공간으로 삼은 [[확률 과정]]
:<math>(X_t\colon\Omega\to S)_{t\in[0,\infty)}</math>
이 확률 연속 [[확률 과정]]이자 무한 분해 가능 확률 과정이라면, '''레비 확률 과정'''이라고 한다.

== 성질 ==
모든 레비 확률 과정은 [[마르코프 과정]]이다.

=== 레비-힌친 공식 ===
<math>\mathbb R</math> 값의 레비 확률 과정의 [[확률 분포]]는 다음과 같은 특성 함수에 의하여 주어진다.
:<math>\mathbb E\left(\exp(\mathrm i\theta X(t))\right)
= \exp\left(t\left(
a \mathrm i\theta - \frac12\sigma^2\theta^2 + \int_{\mathbb R\setminus\{0\}}
\left(\exp(\mathrm i\theta x) - 1 - \mathrm i\theta x [|x|<1]\right)\Pi(\mathrm dx)
\right)\right)</math>
여기서
* <math>a\in\mathbb R</math>는 상수이다. 이는 레비 확률 과정의 선형 이동을 나타낸다.
* <math>\sigma^2\in[0,\infty)</math>는 상수이다. 이는 레비 확률 과정의 [[위너 확률 과정]] 성분의 [[분산]]을 나타낸다.
* <math>[\dotso]</math>는 [[아이버슨 괄호]]이다.
* <math>\Pi</math>는 <math>\mathbb R\setminus\{0\}</math> 위의 시그마-유한 [[측도]]이다.
즉, 레비 확률 과정의 [[확률 분포]]는 <math>(a,\sigma^2,\Pi)</math>에 의하여 결정된다.

== 예 ==
[[위너 확률 과정]]은 레비 확률 과정이다. 이 경우 <math>\Pi</math>는 [[거의 어디서나]] 0이 된다.

== 역사 ==
[[폴 피에르 레비]]의 이름을 땄다.

== 같이 보기 ==
* [[위너 확률 과정]]
== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용 | last1 = Applebaum | first1 = David | title = Lévy processes — from probability to finance and quantum Groups | journal = Notices of the American Mathematical Society | volume = 51 | issue = 11 | pages = 1336–1347 |날짜 = 2004-12 | url = http://www.ams.org/notices/200411/fea-applebaum.pdf | issn = 1088-9477 | 언어=en}}
* {{서적 인용|이름=David|성=Applebaum|제목=Lévy Processes and Stochastic Calculus|url=https://archive.org/details/levyprocessessto0000appl|출판사=Cambridge University Press|날짜=2004|언어=en}}
* {{서적 인용 | last1 = Sato | first1 = Ken-Iti | title = Lévy processes and infinitely divisible distributions | publisher = Cambridge University Press | year = 2011 | ISBN = 978-0521553025 |언어=en }}
* {{서적 인용 | last1 = Kyprianou | first1 = Andreas E. | title = Fluctuations of Lévy processes with applications. Introductory lectures|판=2 | publisher = Springer-Verlag | year = 2014 | ISBN = 978-3642376313 }}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=LevyProcess|title=Lévy process}}

{{전거 통제}}

[[분류:확률 과정]]