레비치비타 접속 문서 원본 보기

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'''레비치비타 접속'''(Levi-Civita接續, {{llang|en|Levi-Civita connection}})은 일반화 [[리만 다양체]]의 [[계량 텐서]]로 정의할 수 있는 [[아핀 접속]]이다. 이탈리아의 수학자 [[툴리오 레비치비타]]의 이름을 땄다.

== 정의 및 성질 ==
일반화 [[리만 다양체]] (즉, 리만 다양체 또는 유사 리만 다양체) <math>(M,g)</math>를 생각하자. 그렇다면 <math>M</math>의 '''레비치비타 접속''' <math>\nabla</math>은 다음 두 조건을 만족하는 유일한 [[아핀 접속]]이다.
* ([[계량 텐서]]와의 호환성) <math>\nabla g=0</math>.
* ([[비틀림 (미분기하학)|비틀림]]의 부재) 임의의 [[벡터장]] <math>X</math>와 <math>Y</math>에 대하여, <math>\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]</math>. 여기서 <math>[\cdot,\cdot]</math>은 [[리 괄호]]이다.
이 두 성질을 만족하는 아핀 접속은 유일하다는 사실을 보일 수 있다. 레비치비타 접속의 성분을 직접 계량 텐서와 그 도함수로 적으면 다음과 같다.
:<math>(\nabla_XY)^i=X^k(\partial_kY^i+\Gamma^i_{jk}Y^j)</math>.
여기서 <math>\Gamma^i_{jk}</math>는 (제2종) [[크리스토펠 기호]]라 불리며, 다음과 같다.
:<math> \Gamma_{jk}^i = \frac{1}{2}\sum_r g^{ir} \left(\partial _j g_{rk} + \partial _k g_{jr} - \partial _r g_{jk}\right) </math>.
[[비틀림 (미분기하학)|비틀림]]의 부재에 따라, 크리스토펠 기호는 <math>\Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}</math>를 만족한다.

== 같이 보기 ==
* [[아핀 접속]]

{{토막글|기하학}}

[[분류:리만 기하학]]
[[분류:일반 상대성이론]]