레데이 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[반군론]]에서, '''레데이 정리'''({{llang|en|Rédei’s theorem}})는 [[유한 집합]] 위의 [[자유 가환 반군]] 위의 [[합동 관계]]가 [[오름 사슬 조건]]을 만족시킨다는 정리이다.

== 정의 ==
'''레데이 정리'''에 따르면, [[유한 집합]] <math>X</math> 위의 [[자유 가환 반군]] <math>\langle X\rangle</math> 위의 [[합동 관계]]들의 [[격자 (순서론)|격자]] <math>\operatorname{Cong}(\langle X\rangle)</math>는 [[오름 사슬 조건]]을 만족시킨다.
{{증명}}
각 원소 <math>N\in\langle X\rangle</math>을 <math>X=\{x_1,\dots,x_{|X|}\}</math>에 대한 단항식
:<math>X^N=x_1^{n_1}\cdots x_{|X|}^{n_{|X|}}\in\mathbb Z[x_1,\dots,x_{|X|}]</math>
으로 표기하자.

<math>\langle X\rangle</math> 위의 임의의 [[합동 관계]] <math>\sim</math>에 대하여, <math>M\sim N</math>인 <math>X^M-X^N</math>들로 생성된 [[아이디얼]]을 <math>\mathfrak i_\sim\subseteq\mathbb Z[x_1,\dots,x_{|X|}]</math>라고 하고,
:<math>M\sim N\iff X^M-X^N\in\mathfrak i_\sim</math>
임을 보이자. <math>M\sim N</math>는 자명하게 <math>X^M-X^N\in\mathfrak i_\sim</math>를 함의한다. 이제, <math>X^M-X^N\in\mathfrak i_\sim</math>라고 가정하자. 그렇다면 <math>X^M-X^N</math>은 유한 개의 서로 합동인 두 단항식의 차들의 합이다. 만약 <math>X^M-X^N=0</math>이라면, <math>M=N</math>이므로 <math>M\sim N</math>이다. 만약
:<math>X^M-X^N=X^A-X^B</math>
:<math>A\sim B</math>
:<math>A\ne B</math>
인 <math>A,B</math>가 존재한다면, <math>M=A\sim B=N</math>이다. 이제
:<math>X^M-X^N=(X^A-X^B)+(X^C-X^D)</math>
:<math>A\sim B</math>
:<math>A\ne B</math>
:<math>C\sim D</math>
:<math>C\ne D</math>
인 <math>A\sim B,C\sim D</math>가 존재한다고 하자. 그렇다면, <math>M\in\{A,C\}</math>이며, <math>N\in\{B,D\}</math>이다. 만약 <math>M=A,N=B</math>이거나 <math>M=C,N=D</math>라면, <math>M\sim N</math>이다. 만약 <math>M=A,N=D</math>이거나 <math>M=C,N=B</math>라면, 편의상 <math>M=A,N=D</math>라고 하자. 그렇다면, <math>B=C</math>이므로,
:<math>X^M-X^N=(X^A-X^B)+(X^C-X^D)=X^A-X^B+X^B-X^D=X^A-X^D</math>
:<math>A\sim B=C\sim D</math>
이며, 따라서 <math>M\sim N</math>이다. 이와 같은 과정을 반복하면 항상 <math>M\sim N</math>임을 알 수 있다.

반대로, 임의의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak i\subseteq\mathbb Z[x_1,\dots,x_{|X|}]</math>에 대하여,
:<math>M\sim N\iff X^M-X^N\in\mathfrak i</math>
는 자명하게 <math>\langle X\rangle</math> 위의 [[합동 관계]]를 이룬다.

이에 따라, <math>\langle X\rangle</math> 위의 [[합동 관계]]는 <math>\mathbb Z[x_1,\dots,x_{|X|}]</math>의 [[아이디얼]]들과 일대일 대응하며, 또한 <math>\operatorname{Cong}(\langle X\rangle)</math>는 <math>\mathbb Z[x_1,\dots,x_{|X|}]</math>의 [[아이디얼]]들의 [[격자 (순서론)|격자]]와 순서 동형이다. 특히, [[힐베르트 기저 정리]]에 따라, <math>\mathbb Z[x_1,\dots,x_{|X|}]</math>는 [[뇌터 환]]이므로, <math>\mathbb Z[x_1,\dots,x_{|X|}]</math>의 [[아이디얼]]들은 [[오름 사슬 조건]]을 만족시키며, 따라서 <math>\operatorname{Cong}(\langle X\rangle)</math> 역시 [[오름 사슬 조건]]을 만족시킨다.
{{증명 끝}}

== 따름정리 ==
=== 유한 생성 가환 반군 위의 합동 관계 ===
레데이 정리에 따라, 유한 생성 [[가환 반군]]의 [[합동 관계]]들의 [[격자 (순서론)|격자]]는 [[오름 사슬 조건]]을 만족시킨다. 이에 따라, 유한 생성 [[가환 반군]]의 [[합동 관계]]는 항상 유한 생성 합동 관계이다. 특히, 유한 생성 [[가환 반군]]의 [[반군 아이디얼]]은 항상 유한 생성 [[반군 아이디얼]]이다.

=== 유한 집합 위의 자유 가환 반군의 반사슬 ===
[[자유 가환 반군]]은 [[약수]] 관계에 대하여 [[부분 순서 집합]]을 이룬다. 레데이 정리에 따라, [[유한 집합]] 위의 [[자유 가환 반군]]의 [[반사슬]]은 항상 [[유한 집합]]이다.
{{증명}}
임의의 부분 집합 <math>A\subseteq\langle X\rangle</math>에 대하여, <math>A</math>로 생성된 <math>\langle X\rangle</math>의 [[반군 아이디얼]]은 <math>A</math>의 [[상폐포]] <math>I=\uparrow A</math>이다. 레데이 정리에 따라, <math>I</math>는 <math>\langle X\rangle</math>의 유한 생성 [[반군 아이디얼]]이며, <math>I=\uparrow S</math>인 [[유한 집합]] <math>S\subseteq\langle X\rangle</math>가 존재한다.

만약 <math>A</math>가 [[반사슬]]이라면, 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>s\mid a</math>인 <math>s\in S</math>를 취하자. 그렇다면, <math>a</math>는 <math>I</math>의 [[극소 원소]]이므로, <math>a=s\in S</math>이다. 즉, <math>A\subseteq S</math>이며, 특히 <math>A</math>는 [[유한 집합]]이다.
{{증명 끝}}

== 역사 ==
[[헝가리]]의 수학자 라슬로 레데이({{llang|hu|László Rédei}})의 이름을 땄다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성=Grillet
|이름=P. A.
|제목=Commutative Semigroups
|언어=en
|총서=Advances in Mathematics
|권=2
|출판사=Springer
|위치=Boston, MA
|날짜=2001
|isbn=978-1-4419-4857-1
|doi=10.1007/978-1-4757-3389-1
}}

[[분류:반군론]]