러브파 문서 원본 보기

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[[파일:Love wave.svg|300px|섬네일|러브파의 진행 방향과 파형의 모습. 러브파는 표면에만 진행하며 매질을 따라 전파가 되는 표면파이다.]]
'''러브파'''(Love wave)는 [[선형탄성]]학에서 수평으로 [[편광]]된 [[표면파]]를 의미한다. [[어거스터스 에드워드 허그 러브]] 교수의 이름을 따서 붙어진 파형이다. 러브파는 한쪽은 탄성계 공간이며 다른 쪽은 아무것도 없는 진공 상태의 표면인 탄성층을 통해 유도되는 수많은 [[S파]]가 [[간섭 (파동 전파)|간섭]]을 일으키며 생겨난다. [[지진학]]에서는 러브파를 '''Q파'''(Q waves)라고도 부르며 [[지진]]이 일어날 때 땅을 수평으로 흔들리게 만드는 표면 [[지진파]]이다. 지진학에서는 [[P파]], [[S파]] 다음으로 오는 파동으로 알려져 있다. 러브파는 횡파인 S파의 속도가 아래에서보다 표면 가까운 위에서 더 느릴 때만 발생하는 파동이다. 그러므로 표면에서 거리가 멀어질수록 러브파의 진폭은 기하급수적으로 줄어든다.

러브파는 1911년 어거스터스 러브 교수가 처음 수학적으로 그 존재를 예측하였다.<ref>{{MacTutor Biography|id=Love}}</ref><ref>{{MathGenealogy|id=31354}}</ref><ref>{{저널 인용| title = The Oxford Dictionary of National Biography | doi = 10.1093/ref:odnb/34603 | year = 2004 | pmid =  | pmc = }}</ref>

== 기초 이론 ==
[[선형탄성]] 물질의 [[선형 운동량]] 보존은 아래와 같이 쓸 수 있다.<ref>Slaughter, W. S., (2002), ''The linearized theory of elasticity'', Birkhauser.</ref> 여기서 [[물체력]]은 0으로 가정하고 직접적인 텐서 표기법만 사용한다.
:<math>\boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathsf{C}:\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u}) = \rho~\ddot{\mathbf{u}} </math>
여기서 <math>\mathbf{u}</math>는 벡터 [[변위]]이고 <math>\mathsf{C}</math>는 [[탄성 강도 텐서]]이다. 러브파 <math>\mathbf{u}</math>는 위 방정식을 만족시키는 특수해에 해당한다. 이해하기 쉬운 설명을 위해 [[직교 좌표계]](<math>x,y,z</math>)로 러브파를 설명한다.

탄성 특성이 <math>z</math>축으로만 연관되어 있는 함수인 등방성 선형 탄성 매질을 생각하자. 이러면 [[라메 상수]]와 [[밀도]]는 <math>\lambda(z), \mu(z), \rho(z)</math>로 표현할 수 있다. 시간 <math>t</math>에 따른 변위 <math>(u,v,w)</math>의 러브파 파형은 다음 함수와 같이 된다.
:<math>u(x,y,z,t) = 0 ~,~~ v(x,y,z,t) = \hat{v}(x,z,t) ~,~~ w(x,y,z,t) = 0 \,.</math>

즉 이 파는 <math>(x,z)</math> 평면에 수직인 평행전단파(Antiplane shear wave)가 된다. <math>\hat{v}(x,z,t)</math> 함수는 다양한 [[파수]] <math>k</math>와 [[진동수]] <math>\omega</math>를 가진 수많은 [[고조파]]의 중첩 형태로 표현할 수 있다. 여기서 가장 단순한 고조파인 다음 파동만 생각해 보자.
:<math>\hat{v}(x,z,t) = V(k, z, \omega)\,\exp[i(k x - \omega t)]</math>

여기서 <math>i = \sqrt{-1}</math>이다. 이 변위로 인한 [[변형력]]은 다음과 같다.
:<math>
   \sigma_{xx} = 0 ~,~~ \sigma_{yy} = 0 ~,~~ \sigma_{zz} = 0 ~, ~~ \tau_{zx} = 0
   ~,~~ \tau_{yz} = \mu(z)\,\frac{dV}{dz}\,\exp[i(k x - \omega t)]
   ~,~~ \tau_{xy} = i k \mu(z) V(k, z, \omega) \,\exp[i(k x - \omega t)] \,.</math>

여기서 추정된 변위를 운동량 보존 방정식에 대입하면 다음과 같은 단순한 방정식으로 정리할 수 있다.
:<math>\frac{d}{dz}\left[\mu(z)\,\frac{dV}{dz}\right] = [k^2\,\mu(z) - \omega^2\,\rho(z)]\,V(k,z,\omega) \,.</math>

러브파의 경계조건은 자유표면<math>(z = 0)</math>에서 [[견인력]](Traction)이 반드시 0이어야 한다는 것이다. 또한 층 매질에서 응력 성분 <math>\tau_{yz}</math>이 각 층 경계마다 전부 연속적이어야 한다. <math>V</math>의 2차 [[미분방정식]]을 2계 1차 미분방정식으로 표현하기 위해 응력 성분을 다음과 같이 하자.
:<math>\tau_{yz} = T(k, z, \omega)\,\exp[i(k x - \omega t)] </math>

그럼 다음과 같이 운동량 방정식의 1차 방정식 형태를 얻게 된다.
:<math>
  \frac{d}{dz}\begin{bmatrix} V \\ T \end{bmatrix} = 
       \begin{bmatrix} 0 & 1/\mu(z) \\ k^2\,\mu(z) - \omega^2\,\rho(z) & 0 \end{bmatrix}
       \begin{bmatrix} V \\ T \end{bmatrix} \,.
 </math>

위 방정식을 [[고윳값]] 문제로 풀면 [[수치해석학]]적으로 [[고유함수]]를 찾을 수 있는 방정식이 된다.

== 같이 보기 ==
* [[종파 (물리학)|종파]]
* [[레일리파]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* A. E. H. Love, "Some problems of geodynamics", first published in 1911 by the Cambridge University Press and published again in 1967 by Dover, New York, USA. (Chapter 11: Theory of the propagation of seismic waves)

{{전거 통제}}

[[분류:지구물리학]]
[[분류:파동]]
[[분류:지진학]]