러더퍼드 산란 문서 원본 보기

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'''러더퍼드 산란'''(Rutherford scattering) 은 [[쿨롱 법칙|쿨롱 상호 작용]]으로 인한 [[전하|하전]] [[입자]]의 [[탄성 산란]]이다. 1911년에 [[어니스트 러더퍼드]]<ref>{{저널 인용|제목=The Scattering of α and β rays by Matter and the Structure of the Atom|저널=Philosophical Magazine|성=Rutherford|이름=E.|저자링크=Ernest Rutherford|날짜=1911|권=6|쪽=21}}</ref>에 의해 설명 된 [[물리학|물리적]] 현상으로 [[원자]]의 행성적 [[러더퍼드 원자 모형|러더퍼드 모델]]과 결국 [[보어 모형]]의 발전을 가져왔다. 러더퍼드 산란은 [[정전기]] ( [[쿨롬]] ) 전위에만 의존하기 때문에 '''쿨롱''' 산란으로 처음 언급되었으며, 입자 간의 최소 거리는이 전위에 의해 전적으로 설정되었다. [[알파 입자]]와 금 핵이 내부에서 흥분되기 때문에 [[금]] [[원자핵|핵]]에 대한 [[알파 입자]]의 고전적인 러더퍼드 산란 과정이 " [[탄성 산란]] "의 한 예시이다. 러더퍼드의 공식 (아래 참조)은 거대한 표적 핵의 [[운동 에너지]]를 무시한다.

== 발견 ==
최초의 발견은 1909년 [[한스 가이거]]와 어니스트 마르스덴이 러더퍼드와 협력하여 [[알파입자 산란실험]]을 했을 때 이루어졌는데, 이 실험에서 그들은 단지 몇 개의 원자 두께의 금박에 알파 입자(헬륨 핵)의 빔을 발사했다. 실험 당시, 원자는 ( [[조지프 존 톰슨]]이 제안한 것과 유사 )와 음의 전하를 띤 전자 (건포도)가 양의 구형 매트릭스 (푸딩)에 박혀있는 것과 유사 하다고 생각되었다. 건포도-푸딩 모형이 정확하다면 [[핵]]의 정확한 모형보다 더 넓게 퍼져 있는 양의 "푸딩"은 그렇게 큰 쿨롱 힘을 발휘할 수 없을 것이며 알파 입자는 통과할 때 작은 각도로만 비껴져야 한다.
[[파일:AlphaTrackRutherfordScattering3.jpg|섬네일| '''그림 1.''' [[안개 상자]]에서 5.3 점 1 근처의 [[납 동위 원소|납-210]] 핀 소스로부터의 MeV

알파 입자 트랙은 점 2 근처에서 러더 포드 산란을 겪고, 약 30 °의 각도로 편향된다. 그것은 포인트 3 근처에서 다시 한 번 뿌려지고 마침내 가스에 안정된다. 챔버 가스의 목표 핵은 [[질소]], [[산소]], [[탄소]] 또는 [[수소]] 핵이었을 수 있다. 포인트 2 근처에서 짧은 가시적 인 반동 트랙을 발생시키기 위해 [[탄성 충돌]]에서 충분한 [[운동 에너지]]를 받았다. (눈금은 센티미터 단위) ]]
그러나 흥미로운 결과는 약 8000개의 알파 입자가 매우 큰 각도(90° 이상)로 편향된 반면, 나머지는 거의 편향되지 않은 채 통과했다는 것을 보여주었다. 이것으로부터 Rutherford는 [[질량]]의 대부분이 전자로 둘러싸인 양전하를 띤 영역 (핵)에 집중되어 있다고 결론 지었다. 양전하의 알파 입자가 핵에 충분히 근접 할 때, 높은 각에서 반동 할만큼 충분히 강하게 튕겨 나갔다. 작은 크기의 핵은 이런 식으로 반발 된 소수의 알파 입자를 설명했다. 러더퍼드는 아래의 방법을 사용하여 핵의 크기가 약

{{val|e=-14|u=m}} (이 크기보다 얼마나 적은지, 러더퍼드는 이 실험만으로는 말할 수 없었다; 가능한 가장 작은 크기의 문제에 대해서는 아래를 참조하십시오). 시각적 인 예로서, 그림 1은 [[안개 상자]]의 가스에서 핵에 의한 알파 입자의 편향을 보여주게 된다.

러더퍼드 산란은 이제 [[러더퍼드 후방 산란]]([[:en:Rutherford_backscattering|Rutherford backscattering]])이라는 분석적 기법으로 재료 과학계에 의해 이용되고 있다.

== 유도 ==
[[단면적 (물리학)|미분 단면]]은 구심 퍼텐셜 과 상호 작용하는 입자의 운동 방정식으로부터 도출 할 수 있다. 일반적으로, 구심력 아래에서 상호 작용하는 두 개의 입자를 기술하는 [[이체 문제]] 운동 방정식은 질량 중심과 서로에 대한 입자의 운동으로 분리 될 수 있다. 러더퍼드에 의해 수행된 실험에서와 같이 무거운 핵에서 산란하는 가벼운 알파 입자의 경우, [[환산 질량]]은 본질적으로 알파 입자의 질량이며 산란하는 핵은 실험실 프레임에서 본질적으로 고정되어 있다.

목표 (산란 자)에 좌표계의 원점을 [[비네 방정식]]으로 대입하면 궤도 방정식이 다음과 같이 나타난다.

<math>\frac{d^2 u}{d \theta^2} + u = -\frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 m v_0^2 b^2}=-\kappa,</math>

여기서 <span data-segmentid="75" class="cx-segment">{{math|''u'' {{=}} {{sfrac|1|''r''}}}}</span>, <span data-segmentid="75" class="cx-segment">{{math|''v''<sub>0</sub>}}</span>는 무한대에서의 속도, <span data-segmentid="75" class="cx-segment">{{math|''b''}}</span>는 충돌 매개 변수이다.

이때 위의 미분 방정식의 일반적인 해법은 다음과 같다.

<span data-segmentid="79" class="cx-segment"><math>u = u_0 \cos \left(\theta - \theta_{0}\right) - \kappa,</math></span>

그리고 경계조건은

<math>u \rightarrow 0, \sin \theta\rightarrow b \ (\theta \rightarrow \pi)</math>

이러한 경계 조건을 사용하여 방정식 u → 0과 그 미분 <span data-segmentid="83" class="cx-segment">{{math|{{sfrac|''du''|''dθ''}} → −{{sfrac|1|''b''}}}}</span>를 풀면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

<math>\theta_0 = \frac{\pi}{2} + \arctan b \kappa.</math>

<span data-segmentid="86" class="cx-segment">그러면 [[산란|편향 각]] ( {{수학|''Θ''}} )은</span>

<math>\begin{align} \Theta &= 2 \theta_0 - \pi = 2 \arctan b \kappa \\ &= 2 \arctan \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 m v_0^2 b}. \end{align}</math>

<span data-segmentid="89" class="cx-segment">{{수학|''b''}} 는 또한 다음과 같이 풀 수있다.</span>

<math>b = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 m v_0^2} \cot \frac{\Theta}{2}.</math>

<span data-segmentid="92" class="cx-segment">이 결과에서 산란 단면을 찾으려면 그 정의를 고려해야 한다.</span>

 <math>\frac{d \sigma}{d \Omega}(\Omega) d \Omega = \frac{\hbox{number of particles scattered into solid angle } d \Omega \hbox{ per unit time}}{\hbox{incident intensity}}</math>

<span data-segmentid="94" class="cx-segment">산란 각은 주어진 {{수학|''E''}} 와 {{수학|''b''}} 대해 고유하게 결정되므로 {{수학|''Θ''}} 와 {{수학|''Θ'' + ''dΘ''}} 사이의 각도로 산란되는 입자의 수는 {{수학|''b''}} 와 {{수학|''b'' + ''db''}} 사이의 충돌 매개 변수가있는 입자 수와 동일하다.</span> <span data-segmentid="95" class="cx-segment">입사 강도 {{수학|''I''}} 에 대해서, 이것은 다음과 같음을 의미한다.</span>

<math>2\pi I b \left|db\right| = I \frac{d\sigma}{d\Omega} d\Omega </math>

<span data-segmentid="97" class="cx-segment">방사형 대칭 산란 포텐셜의 경우, 쿨롱 포텐셜의 경우와 마찬가지로 dΩ = 2πsinΘdΘ이므로, 산란 단면에 대한 식은</span>

<math> \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{b}{\sin{\Theta}} \left|\frac{db}{d\Theta}\right| </math>

<span data-segmentid="100" class="cx-segment">충격 매개 변수 {{수학|''b''(''Θ'')}}에 대해 이전에 유도 된 식을 연립하면 러더퍼드 미분 산란 단면을 찾을 수 있고,</span>

<math> \frac{d\sigma}{d\Omega} =\left(\frac{ Z_1 Z_2 e^2}{8\pi\epsilon_0 m v_0^2}\right)^2 \csc^4 \frac{\Theta}{2}. </math>

<span data-segmentid="103" class="cx-segment">이 같은 결과는 다음과 같이 표현 될 수있다.</span>

<math> \frac{d\sigma}{d\Omega} = \left( \frac{ Z_1 Z_2 \alpha (\hbar c)} {4 E_\mathrm{K} \sin^2 \frac{\Theta}{2} } \right)^2 </math>

<span data-segmentid="105" class="cx-segment">여기서 α (≈ 1/137)는 무 차원 [[미세 구조 상수]]이며, Ek는 MeV에서 입자의 비상대론적 운동에너지다. {{math|''ħc'' ≈}} 197 MeV · fm이다.</span>

== 상대론적 입자와 타겟 반동으로의 확장 ==
상대 에너지에 대한 저에너지 러더퍼드 형 산란의 확장과 본질적인 스핀을 갖는 입자는 이 문서의 범위를 벗어난다. 예를 들어, 양성자로부터의 전자의 산란은 비상대론적 전자에 대한 러더퍼드 공식으로 축소되는 단면을 갖는 [[:en:Mott_scattering|Mott scattering]]으로 기술된다. 빔 또는 타겟 입자의 내부 에너지 변화가 발생하지 않으면, 그 과정은 "탄성 산란 (elastic scattering)"이라고 부른다. 왜냐하면 어떤 경우에도 에너지와 운동량이 보존되어야하기 때문이다. 충돌로 인해 성분 중 하나가 들뜨게 되거나 새로운 입자가 상호작용 으로부터 생성되면 그 과정은" 비탄성 산란" 이라고 한다.

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:초기 양자역학]]
[[분류:산란]]