랴푸노프 안정성 문서 원본 보기

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[[동역학계 이론]]에서 '''랴푸노프 안정성'''(Ляпунов安定性, {{llang|en|Lyapunov stability}})은 [[동역학계]]의 평형점이 가질 수 있는 안정성 성질 가운데 하나이다. 대략, 랴푸노프 안정 평형점 부근에서 시작하는 동역학계의 모든 해는 영원히 이 평형점 주변에 머무르게 된다. 랴푸노프 안정성보다 더 강한 개념으로 '''점근적 안정성'''(漸近的安定性, {{llang|en|asymptotic stability}})과 '''지수적 안정성'''(指數的安定性, {{llang|en|exponential stability}})이 있다.

== 정의 ==
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 [[열린집합]] <math>\mathcal D\subseteq\mathbb R^n</math> 위에 다음과 같은 자율 동역학계가 주어졌다고 하자.
:<math>x(t)\in\mathcal D</math>
:<math>\dot x(t) = f(x(t))</math>
:<math>x(0)=x_0\in D</math>
또한,
:<math>f\colon \mathcal D\to\mathbb R^n</math>
는 [[립시츠 연속 함수]]이며,
:<math>f(0)=0</math>
이라고 하자. 즉, 원점은 [[평형점]]을 이룬다. (만약 [[평형점]] <math>x=x_e</math>이 다른 곳에 있을 경우,<math>x-x_e = y</math>로 치환하여, 항상 평형점을 원점으로 놓을 수 있다.)

이 경우, 이 자율 동역학계의 평형점 <math>x=0</math>의 안정성은 다음과 같은 용어로 표현할 수 있다.
* 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\|x(0)\|<\delta</math>이라면 <math>\sup_{t\ge0}\|x(t)\|<\epsilon</math>인 <math>\delta>0</math>가 존재한다면, 평형점 <math>x=0</math>이 '''랴푸노프 안정'''({{llang|en|Lyapunov-stable}})하다고 한다.
* 만약 평형점 <math>x=0</math>이 랴푸노프 안정하고, 또한 <math>\|x(0)\|<\delta</math> 이면 <math>\lim_{t\to\infty} \|x(t)\| = 0</math> 인 <math>\delta > 0</math> 가 존재하면, 평형점 <math>x=0</math>이 '''점근적으로 안정'''({{llang|en|asymptotically stable}})하다고 한다.
* 만약 평형점 <math>x=0</math>이 점근적으로 안정하고, <math>0<\|x(0)\| < \delta</math> 이면 <math>\sup_{t\ge0}\exp(\beta t)\|x(t)\|/\|x(0)\|\le\alpha</math>인 <math>\alpha, \beta, \delta>0</math>가 존재한다면, 평형점 <math>x=0</math>이 '''지수적으로 안정'''({{llang|en|exponentially stable}})하다고 한다.

대략, 위 정의는 다음과 같이 생각할 수 있다.
* 랴푸노프 안정 평형점에서 "충분히 가까이" (<math>\delta</math> 이내의 거리에서) 시작된 해들은 영원히 평형점에 "충분히 가까이" (<math>\epsilon</math> 이내의 거리에) 머문다. 또한, 허용 오차 <math>\epsilon</math>을 임의로 줄일 수 있다.
* 점근적 안정 평형점에서 충분히 가까이 시작된 해는 충분히 가까이 머물 뿐만 아니라, 충분한 시간이 지나면 해당 평형점으로 수렴한다.
* 지수적 안정 평형점에서 충분히 가까이 시작된 해는 충분한 시간이 지나면 적어도 어떤 알려진 비율에 따라 지수함수적으로 해당 평형점으로 수렴한다.

== 랴푸노프 함수 ==
동역학계의 평형점의 안정 여부는 '''랴푸노프 함수'''(Ляпунов函數, {{llang|en|Lyapunov function}})라는 함수를 찾아 증명할 수 있다.<ref>{{서적 인용|성=Khalil|이름=Hassan K.|제목=Nonlinear Systems|url=http://www.egr.msu.edu/~khalil/NonlinearSystems/|판=3|출판사=Prentice Hall|날짜=2002|isbn=0-13-067389-7|zbl=1003.34002|언어=en}}</ref>

동역학계 <math>\dot x = f(x)</math>의 [[평형점]]이 <math>x_e = 0</math>이라 하자. 그리고 <math>\mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^{n}</math>을 <math>x=0</math>을 포함하는 [[정의역]]으로 두자. 다음과 같은 도함수가 연속인 함수 <math>V \colon \mathcal D \to \mathbb{R}</math>을 고려하자.
:<math>V(0)= 0 \text{ and } V(x)>0,\, \forall x \in \mathcal D\setminus\{0\}</math>
:<math>\dot V(x)\le0\;\forall x \in \mathcal D</math>
그러면 <math>x=0</math>은 랴푸노프 안정하다. 만약 <math>\dot V(x) < 0,\; \forall x \in (\mathcal{D} - \{0\})</math>이라면 <math>x=0</math>은 점근적으로 안정하다. 이러한 함수 <math>V</math>를 '''랴푸노프 함수'''라고 한다.

== 역사 ==
랴푸노프 안정성은 러시아의 수학자 [[알렉산드르 랴푸노프]]의 이름을 땄다. 랴푸노프는 1892년 박사 학위 논문 《운동의 안정성에 관한 일반적 문제》<ref name="lyapunov">{{저널 인용|성=Ляпунов|이름=А.М.|저자링크=알렉산드르 랴푸노프|제목=Общая задача об устойчивости движения|기타=[[하르키우 대학교]] 박사 학위 논문|날짜=1892|jfm=24.0876.02|언어=ru}}</ref>에서 최초로 비선형 동역학계의 어떤 평형점 근처에서의 선형화를 다뤘다. 이 책은 러시아어로 출판되었고, 그 후 프랑스어로 번역되었는데, 오랫동안 주목을 받지 못하였다.

랴푸노프 이론은 [[냉전]] 시절에 항공우주 [[유도 시스템]]의 안정성을 다루기 위해 학계에서 주목받기 시작하였다. 이러한 동역학계는 보통 심하게 비선형적이어서, 랴푸노프 제2 방법 이외로는 쉽게 다룰 수 없다. 이후 관련 분야들이 [[제어 이론]] 및 [[동역학계]] 관련 문헌에서 널리 다뤄지고 있다.<ref>{{서적 인용|성=Летов|이름=A.M.|제목=Устойчивость нелинейных регулируемых систем|위치=[[모스크바]]|출판사=Гостехиздат|언어=ru}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Kalman|이름=R. E.|성2=Bertram|이름2=J. F.|제목=Control system analysis and design via the second method of Lyapunov|저널=Journal of Basic Engineering|권=88|쪽=371–394|날짜=1960|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|성=LaSalle|이름=J. P.|성2=Lefschetz|이름2=S.|저자링크2=솔로몬 렙셰츠|제목=Stability by Liapunov's direct method: with applications|출판사=Academic Press|날짜=1961|zbl=0098.06102|총서=Mathematics in Science and Engineering|권=4|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Kalman|이름=R. E.|제목=Lyapunov functions for the problem of Lur’e in automatic control|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|권= 49|호=2|쪽=201–205|날짜=1963|pmc=299777|pmid=16591048|doi=10.1073/pnas.49.2.201 |언어=en}}</ref>
더욱 최근에는 랴푸노프의 제1 방법에서 쓰이는 랴푸노프 지수가 [[혼돈 이론]]에서 응용되고 있다.

== 같이 보기 ==
* [[섭동 이론]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lyapunov stability}}

{{전거 통제}}

[[분류:제어이론]]
[[분류:동역학계]]
[[분류:라그랑주 역학]]
[[분류:안정성 이론]]
[[분류:삼체 궤도]]